Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения (2.12.2) и (2.12.3) имеют классическую форму волновых
уравнений, что было бы особенно ясно, если бы мы записали их через
волновые операторы ? l и ЕЫ
Dl T^V2_cZfT(d2/df).
Соответственно этому, уравнение (2.12.2) описывает волны расширения
(продольные, или без вращения), а уравнение
(2.12.3) - волны вращения (поперечные, или изообъемные). Величины Cl и Ст
- скорости распространения продольных и поперечных волн соответственно в
изотропной линейно упругой среде. Легко показать, что оператор Гука с
учетом определений
(2.12.4) можно переписать в виде
С/иа ~ Ро [(4 ^4) ^jfikt "I- 4 ~Ь А*)]* (2.12.5)
Общее решение уравнения (2.12.1) можно найти при помощи понятия
потенциала. Согласно знаменитой теореме Гельмгольца из векторного
анализа, всякое векторное поле и, достаточно быстро затухающее в
бесконечности, можно представить в виде суммы невращательного (или
безвихревого) и соленоидального (бездивергентного) полей
u = V<p+ V ХФ с условием V • ф = 0. (2.12.6)
Последнее условие является калибровочным: оно уменьшает произвол в выборе
векторного поля ф. Можно показать, что разложение (2.12.6) полное, а
также что <р - скалярный потенциал расширения, ф - векторный потенциал
поля вектора вращения, когда и - не что иное, как поле перемещений.
Действительно, с учетом второго уравнения (2.12.6) имеем
0 == V • u = V2qp, юз= 1/2VXu = -1/2V2'"1). (2.12.7)
Замечая, что уравнение (2.12.1) можно переписать в виде
и = c]V (V • и) - c|V X (V X и),
и подставляя в это уравнение выражение (2.12.6), находим
У (с2гУ2Ф - ф) - V X [4? X (У X *) + Ч>] = 0. (2.12.8)
Взяв дивергенцию от обеих частей этого уравнения, получим
V2(mL<p) = 0; интегрирование этого уравнения по пространственным
координатам дает
? ?Ф = Ф, (2.12.9)
где Ф - гармоническая скалярная функция: У2Ф = 0. Аналогично, взяв ротор
от уравнения (2.12.8), найдем
У2[УХ(?Хф) + сгф] = 0.
140 Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
С учетом калибровочного условия (2.12.6) (второе условие) справедливо
равенство V X.(V X Ф) = - ^2ф, поэтому пространственное интегрирование
дает
? ГФ = Ф\ (2.12.10)
где Ф*- гармоническая векторная функция: v2,F = 0. Однородные уравнения,
соответствующие уравнениям (2.12.9) и (2.12.10), имеют решения в форме
плоских волн:
Ф = Ф (?), Ф = Ф(Сг> (2.12.11)
здесь ? - фазовые переменные:
?*,г = п-г ±ci 7i, (2.12.12)
а п - единичный (волновой) вектор. Эта ситуация иллюстрируется, рис.
2.12.1. Рассмотрим волну, распространяющуюся в
Рис. 2.12.1, Плоская волна, распространяющаяся вдоль направления L. Здесь
л,- - направляющие косинусы линии L, перпендикулярной плоскости Р,
уравнение которой в момент t имеет вид л-г ± ct ~ const. Плоскость
движется вдоль L со скоростью ±с, оставаясь все время перпендикулярной
этой линии*
направлении, для которого п-г>0, что означает выбор знака минус в
уравнении (2.12.11); вычислим для этого случая и из решения (2.12.11) при
помощи (2.12.6). Вычисление дает
и == q/n + т|/X п, пф'= 0, (2.12.13)
где <р' = д^дЦ и ф' = <5фг/<3?7Г. Пусть щп) и ii(f> - компоненты вектора
и при его разложении вдоль вектора п и параллельно
§ 2.13. Распространение волн в бесконечном кубическом кристалле 141
плоскости волны (см. рис. 2.12.1). Таким образом,
и = Щп)П + %), щп) = и • п, %, = п х (U X п). (2.12.14) Эти соотношения с
учетом (2.12.13) дают
"(") = Ф'> uW = <oXn; (2.12.15)
здесь во втором уравнении вектор ф' был заменен без потери общности на
ф('(). Результаты (2.12.15) показывают, что скалярные плоские волны ф =
распространяются вдоль век-
тора п и связаны с компонентой вектора перемещения в этом направлении.
Векторные плоские волны ф = ф ) связаны с компонентой вектора
перемещения, перпендикулярной направлению п. Другими словами, скалярные
волны ф есть продольные волны, распространяющиеся со скоростью cL, а
векторные волны ф- поперечные волны, распространяющиеся со скоростью ст.
В результате произвольная плоская волна, распространяющаяся вдоль
направления п, состоит из трех компонент, соответствующих продольной
волне (или волне расширения) и двум поперечно поляризованным волнам (или
изообъемным). Решения в виде гармонических плоских волн соответствуют
следующей специальной форме функциональной зависимости для ф и ф (а,
следовательно, и и):
Ф = Ф0ехр(г^), ф = ф0ехр(г'^). (2.12.16)
Гармонические плоские волны в однородной линейно упругой среде не имеют
дисперсии, так как многочлен, полученный в результате дифференцирования
уравнения движения с учетом закона Гука, однородный (см., например,
уравнение (2.12.1)).
§ 2.13. Распространение волн в бесконечном кубическом кристалле
Рассмотрим распространение гармонических плоских волн, например решений
вида u = Uoexp [i(k-r- cot)], где к - волновой вектор (неединичный) и со
- круговая частота, в бесконечной упругой среде с кубической симметрией.
Объемной силой Pot в уравнении (2.11.20) будем, как и выше, пренебрегать,
а тензорный коэффициент упругости будет иметь вид (2.11.36). Наибольший
