Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Можен М. -> "Механика электромагнитных сплошных сред" -> 53

Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.

Можен М. Механика электромагнитных сплошных сред — Москва, 1991. — 560 c.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка): mehanikaelektromagnitnihsploshnihsred1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 207 >> Следующая

упрощение состоит в отбрасывании инерционного слагаемого в уравнении
(2.11.20). В результате мы приходим к квазиста-тичной линейной теории
упругости.
Найдем теперь явный вид уравнений, выведенных выше, для материалов с
одним из двух типов симметрии.
(1) Из хорошо известных теорем1) следует, что для линейных изотропных
термоупругих материалов тензоры С/ш, Мц и ТСг}' принимают вид
Сцы = кЬцЬк1 + р (bjk&n + <V6(*),
Мц = тЬф K?j - %ЬЦ\
здесь X и [г - коэффициенты Ламе, m - коэффициент термо-упругости их -
коэффициент теплопроводности при темпера-
11 См. работы [Racah, 1933: Gurtin, 1974].
(о,. . (2-11.24)
134
Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
туре 0о. Соответственно этому уравнения (2.11.14), (2.11.19) и (2.11.21)
принимают вид
Обращая уравнение (2.11.25), находим
tn - [hekk + m (0 - 0О)] 6ц + 2\1вц,
4t = -ХЭ. ь Ро^б - m%ekk = xV20 + р0Л.
(2.11.25) I
(2.11.26) |
(2.11.27) 1
I
hk "(0 - 0О)] бг/, (2.11.28) |
где а = -т/(ЗА + 2ц)-так называемый коэффициент теплового расширения (так
как при tp = 0 имеем ец = а(0 - 0о)8/г)-Отметим, что различные постоянные
упругости, используемые в технических расчетах, можно выразить через
коэффициенты А. и ц:
Е = [х (ЗА 2ц)/(А + ц) - модуль Юнга, v = А/2 (А + ц) - коэффициент
Пуассона,
ц - модуль сдвига, (2.11.29)
Л = (ЗА + 2ц)/3 -модуль объемного расширения,
К = В~1 - коэффициент сжимаемости.
(2) Для изотермических процессов 0- 0О и уравнение
(2.11.14) сводится к уравнению, выражающему закон Гука. Постоянные,
входящие в это уравнение, на практике можно определить при помощи
квазистатических методов, в которых выполняется условие изотермичности
(например, при очень медленном деформировании материала в термостате). С
другой стороны, в изэнтропических процессах г) = 0, следовательно,
т1=г|о. Для таких процессов из уравнения (2.11.15) следует, что
Подставив это выражение в уравнение (2.11.14), находим
Оператор Си также является оператором Гука; в данном случае он
представляет собой адиабатический (или изэнтропиче-ский) тензорный
коэффициент упругости. Постоянные этого тензора можно измерить при помощи
динамических методов (например, по скорости распространения
ультразвуковых волн; см. [Kittel, 1971, гл. IV]), в которых выполняется
условие адиабатичности. Адиабатические постоянные упругости имеют
(2.11.30)
tp = Cluieku С?ш =* С1Ш + MHMkl. (2.11.31)
§ 2.11. Линейная теория термоупругости
135
большие значения, чем соответствующие изотермические постоянные.
(3) Кубическая структура. Изотропная симметрия - это симметрия,
приписываемая поликристаллическим материалам благодаря их статистически
случайной структуре. Однако в следующих разделах этой книги мы хотели бы
иметь возможность рассматривать упругие материалы с меньшей симметрией,
чем изотропность, т. е. анизотропные материалы, например, с кубической
симметрией, которая типична для таких кристаллов, как Al, Au, Ni и т. д.
Рассмотрим изотермические упругие процессы в таких кристаллах, для
которых уравнение (2.11.14) сводится к закону Гука
tjt - C)ikieki- (2.11.32)
Тензор Сры в рассматриваемом случае имеет более сложную форму, чем
(2.11.24), и для его описания надо не два, а три материальных
коэффициента. Согласно теоремам об общей форме тензоров в материалах с
кубической симметрией *>, можно записать
Clikl - c(fijikl "Ь с\2бцбы ~h С44 (Mtf (2.11.33)
где символ bjiki равен единице, если все его индексы одинаковы, и нулю в
противном случае. Удобно ввести новую постоянную си и безразмерный
параметр | соотношениями
сп - со "Ь сы "Ь 2с44, (2.11.34)
g = --=1--------------2?it_. (2.11.35)
Си- С,2 Си-Си
Тогда уравнение (2.11.33) переписывается в виде
Сры = I (Hi - Иг) 6/ш + с126;,6ы + с44 (6/Абг/ + 6ji6ik). (2.11.36)
Очевидно, что если (сп - Иг)?=0 и | = 0, то мы восстанавливаем случай
полной изотропности. При (сп - с12) = 0 уравнение (2.11.35) дает -оо, что
означает структурную неустойчивость кубической структуры [Tesardi, 1965].
Параметр | в окрестности нуля характеризует отклонение кубической
симметрии от изотропной. Типичные значения параметра g приведены в табл.
2.11.1.
С учетом уравнения (2.11.36) выражение для свободной энергии единицы
объема принимает вид
^ РоФ == '/2/ == V2^(Hi И2) ^/шИ/Н/ +
___________ + V2 [Иг (tr е)2 + 2с44 (tr е2)]. (2.11.37)
о См. работы [Mason, 1966; Сиротин, 1960; 1961; Федоров, 1968].
136 Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
В декартовой системе координат (х, у, z) это выражение записывается в
виде
2 = '/"с,, (<*, + + "у + си (е"е" + + '•""") +
+ '/."" (<4,+ 4.+ <"• <2Л1-38>
Для однородной величины дилатации материала = = fus0 мы имеем соотношения
ехх == еуу = егг = (c)/3 и
Таблица 2.11.1. Адиабатические постоянные упругости для некоторых
кубических кристаллов при комнатной температуре (300° К) из разных
источников
Тип материала Кристалл Постоянные (10'2 дин/см2 или 10" Н/м2)
Плот- ность, 6
Си Сц с" г/см1
Проводники Си (медь) I Ag (серебро) А1 (алюминий) 1.684 | 1.214
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 207 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed