Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
потому, что наблюдался на Солнце еще до того, как был обнаружен на Земле.
Спектр его состоит как бы из двух спектров: из спектра ортогелия (е = +
1) и спектра парагелия (е = - 1). До появления квантовой механики это
казалось совершенно непостижимым. Объяснение этого явления было дано
Гейзенбергом в 1926 г. [56]. Получил объяснение также тот факт, что
ортогелий имеет большее число уровней: это уровни типа х (r) х, такие, как,
например, самый нижний уровень {п - 1, / = 0 для каждого электрона).
Наблюдения показывают, что соответствующее излучение парагелия [например,
переходы (1, 0) V(", /)->(1,0) V("', I') и (1, 0) А (п, 0) Л (п', /')
с п' Ф 1, 1'фЪ] почти в три
раза интенсивнее, чем соответствующее излучение ортогелия. Чтобы
объяснить это, следует принять во внимание спин электрона (см. также
разд. 2.9).
2.6. ПРИНЦИП ПАУЛИ. СПИН ЭЛЕКТРОНА
Перейдем теперь к рассмотрению атомов с п электронами. Гамильтониан,
соответствующий внутренней энергии, имеет вид
? ?-сН, = ?-?. (2.48)
г=1 1 < i < / < п
Разумеется, оператор Д(п> инвариантен относительно группы S(n)
перестановок п электронов. Это справедливо как для оператора
электрического диполя так и для всех наблю-
даемых. Тождественные частицы нельзя отличить друг от друга, и любое
предсказание теории должно быть инвариантно относительно группы S(rt).
Когда мы рассматривали состояния Z (или п) неразличимых частиц, мы
считали (и для атома гелия успешно), что гильбертово пространство
является тензорным произведением гильбертовых пространств Ж для каждой
частицы. В случае п
тождественных частиц рассмотрим снова "2^(п>= (r) На действует группа S(n)
как представление s->S(s). Инвариантность всех наблюдаемых при действии
группы S (п) требует, чтобы они находились в коммутанте (S(s)j' множества
операторов (S (s), ssS (л)[. Как мы у^е видели, проекторы ранга
50
Л. МИШЕЛЬ
один, которые представляют физические состояния, являются такими
наблюдаемыми, что Vs, S (s)PxS(s) = Рх для любого представляющего
состояние вектора ] х). Для этого вектор | х)
должен принадлежать либо пространству М\п\ = V <9^(1> (пол-
П -
ностью симметрическому), либо пространству = Д Жт
(полностью антисимметрическому). Пространства Ж[ j других факториальных
представлений группы S(n) не имеют отношения к пространству физических
состояний.
Для атома гелия мы использовали как пространство так и пространство
Однако использование для атомов
пространства Ж\п\ (при п > 2) противоречит законам природы. В самом деле,
в основном состоянии любого атома все электроны обладали бы тогда одной и
той же энергией связи [-(Za)2/2], Согласно экспериментальным данным,
только два электрона имеют такую энергию связи. Энергия, необходимая для
удаления первого, второго, ... k-ro электронов из какого-либо
нейтрального атома (энергия ионизации), возрастает нерегулярно от долей
а2 до (Z а)2/2. Кроме того, как мы увидим, появляются векторы из
некоторых других пространств Решение этой загадки заключается в том, что
не является гильбертовым пространством связанных состояний одного
электрона в постоянном потенциале. Электрон имеет другую степень свободы
- спин, и гильберторо пространство его состояний должно превратиться в
новое пространство Ж1) = где 2?(1) есть пространство ^(Д3. t) (ранее
обозначалось Ж1)), а Ж(1)- двумерное гильбертово пространство. Паули был
первым, кто в 1924 г. [57] ввел понятие спина для обозначения внутреннего
момента количества движения, а также понятие магнитного момента для ядер.
Однако спин электрона, отображающий его внутренний момент количества
движения, равный Й/2, был введен Гаудсмитом и Уленбеком в 1925 г. С его
введением удалось объяснить число уровней энергии, появляющихся в эффекте
Зеемана, но не величину этого расщепления. В самом деле, магнитный
момент, создаваемый движущимся электрическим зарядом е с моментом
количества движения j (по закону Ампера!), равен
TKF-TP (2-")
где ей/2тс - магнетон Бора. Для орбитального момента количества движения
(|j/Aj-целое число) ?=1, однако для спина
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
51
\]/{г\ = 1/2 и g = 2. Это казалось загадочным и было объяснено в том же
1925 г. Томасом как релятивистский эффект.
Как показал эксперимент, для электронов следует пользоваться статистикой
Ферми, т. е. гильбертово пространство электронных состояний атома с п
электронами имеет вид
- Д ^(1)С= ех 0 , (2.50)
где - новое гильбертово пространство для одного электрона.
Поскольку dimX(1) = 2, схема Юнга [ ]? имеет лишь две
строки, длины которых М ^ К2 ^ 0- Конечно, + К2 = п, и далее мы покажем,
что - К2 есть химическая валентность. гт~
Схема Юнга [ ]Л, входящая в снимет-________
рична относительно диагонали только что рассмо- --------------
тренной схемы Юнга [ ]ск (фиг. 2.2). Она имеет два------------
столбца Иными словами, она имеет К2
строк длиной 2 и - К2 строк длиной 1. Это
Фиг. 2.2. Схема Юнга ор-_______
витальной части состоя- _____
ни я п электронов:
