Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
созданы человеком, причем более половины из них имеют четные 2 и N.
Существует полуэмпирическая формула (формула Вейцзекера), дающая
зависимость энергии связи основного состояния стабильных или нестабильных
ядер от 2, N и А = 2 + N:
В (2, N) = 2/Пр + Nmn - т (2, N) = UVA - UCZ (2 - 1) А~ч* -
- UsA2h - и, -(г-Т^ + ир ( ~1)Z.t (.- !)" (ЗЛ)
(значения постоянных U даны в МэВ),
U4= 14,0 МэВ, Uс = 0,61 МэВ; Us= 14,0 МэВ;
Ut = 84,2 МэВ, Пр = 34 МэВ.
Постоянная Uv соответствует максимальной средней энергии связи нуклона.
Член Uc учитывает кулоновское отталкивание 2 протонов, равномерно
распределенных в сфере, радиус которой пропорционален А1/\ Член Us
относится к поверхностному эффекту, связанному с короткодействующим
характером ядерных сил; Ut уменьшает величину 12-N |, в то время как Up
соответствует эффекту спаривания тождественных нуклонов. Как видно, ядра
с четными 2 и N стабильнее и многочисленнее, чем ядра с нечетными 2 и
(или) нечетными N. Как
¦) Было постулировано существование нейтронных звезд с радиусом от 10 до
100 км, содержащих ~ 1057 нейтронов. Эти звезды, по-видимому, и
наблюдаются сейчас в виде "пульсаров". Они действительно представляют
собой гигантские ядра, но их энергия связи обусловлена как ядериыми, так
и гравитационными силами.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
67
правило, спин (момент количества движения) всех без исключения известных
ядер с четными Z и N равен нулю.
Распределение ядерного спина для ядер с нечетным А рассматривается в
разд. 3.4.
3.2. ИЗОСПИН
Вскоре после открытия нейтрона (1932 г.) Гейзенберг создал формальный
язык для изучения ядра. Нейтроны и протоны рассматривались им как одни и
те же частицы-нуклоны, имеющие пять степеней свободы: три меняющиеся
непрерывно в пространстве (х), одну спиновую (а), принимающую два
значения, и еще одну новую степень свободы. Эту новую величину Гейзенберг
просто назвал пятой степенью свободы т и различал с ее помощью нейтроны и
протоны [63]. Поскольку, подобно спину, она может принимать два значения,
то теперь она называется изоспином ').
Эти условные обозначения Гейзенберга оказались более чем полезными.
Действительно, вскоре было установлено, что между протонами и нейтронами
действуют одинаковые ядерные силы. Их различие (разные электрические
заряды и магнитные моменты, небольшая разница в массах) приписывалось
главным образом электромагнитным эффектам. В разумных пределах их
действием можно пренебречь.
Обозначим гильбертово пространство состояний нашего нуклона через
3g"' = i?2(x, 0(r)Ха(r)Хх, (3.2)
тогда для А нуклонов оно будет иметь вид
= p[lAJ (r) ((зд жа)[^ж{А)[Мс), (3.3)
я
где Р[,л] - проектор на ].
Для изучения ядра из А нуклонов удобно аппроксимировать сумму
взаимодействий двух частиц средним потенциалом
(равным сумме гамильтонианов отдельных частиц) и остаточным
двухчастичным потенциалом, который еще является потенциалом
') Хотя эта величина носит название изотопического спина с 1936 г., для
нее более подходило бы название "изобарический спин". Благодаря
естественной эволюции языка это слово сократилось и превратилось в
изоспин.
68
Л. МИШЕЛЬ
притяжения. Аналогия с изучением атомов1) позволяет сделать некоторые
качественные выводы.
Воспользуемся тем же аргументом, что и в разд. 2.6 для атомов, но с
учетом того, что остаточное взаимодействие имеет противоположный знак. Мы
знаем, что в этом случае для основного состояния схема Юнга [Я] в
уравнении (3.3) должна быть как можно более симметрична, а [Я]с -
антисимметрична, с одной оговоркой, что она имеет только две строки.
Отсюда следует, что обе строки, насколько это возможно, равны друг другу:
[Я]С = [Я|, U -Я2 = ЯМНН, Я, +Я2 = Л. (3.4)
Если ядро имеет Z протонов и N нейтронов (Z-\-N = A), его состояния
полностью симметричны по sup [Z, N\ частицам, так что
A,>sup [Z, N] (3.5)
и
IZ - ДЧ<Я, -Я2. (3.6)
Таким образом, уравнение (3.4) можно интерпретировать следующим образом:
для наиболее стабильных ядер величина | Z - N\ принимает наименьшее
возможное значение. Как мы уже видели, это хорошо подтверждается для
легких ядер, у которых электромагнитное отталкивание протонов
пренебрежимо мало. Если это отталкивание приходится учитывать, то N-Z > 0
становится медленно растущей функцией от A=N-\-Z. В приближении, когда
пир считаются тождественными, изобары (ядра с одним и тем же числом
нуклонов A = Z-\-N) тоже должны быть тождественными. Рассмотрим фиг. 3.2.
На ней представлен энергетический спектр известных состояний для Л =15,
приведены известные значения спина и четности этих состояний. Поражает
сходство спектров (по крайней мере, в нижней части схемы) для V2| Z -
N\~'[j2 (т. е. для ядер N15 и О15). Существенным отличием является скачок
вверх по энергии примерно на 3 МэВ для ядра О15, имеющего на один протон
больше, чем ядро N15. Пары соответствующих состояний называются
"дублетами** состояний с изоспином 1/2.
Объясним подробно эту точку зрения, опирающуюся на соотношения между
