Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда состоянием с наименьшей энергией такой конфигурации из k электронов
является состояние, наиболее антисимметричное по координатам (k=2, k=3,
...),
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
55
т. е. наиболее симметричное по спиновым переменным (& = 2, k = 3, ...). В
табл. 2.3 это можно видеть на примере 2р-элек-троновщля k - 1, 2, 3. При
k = 4 невозможно иметь в 2Z+ 1=3-мерном гильбертовом пространстве
полностью антисимметричный тензор; аналогично можно описать и все
оставшиеся состояния в р-оболочках (табл. 2.4).
ТАБЛИЦА 2.4
Электронные состояния в яр-оболочке
Числа электронов к=1 2
Заполненные оболочки
Орбитальное
состояние
В-
?
Спиновое 3(tm)ен~ состояние оболочт
I3
Валентность
п~г
п ~ 3 л.-4 п = 5
Цили 3) В А1 Ga In
2 (или й) С Si йе Sn
3
N
Р
Лл
Sb
2 1
0 F
S Cl
Se Br
Те I
О
Не
Аг
Кг
Хе
Энергия ионизации для данной р-оболочки (энергия, необходимая для
удаления одного электрона из р-оболочки), как мы и ожидали, увеличивается
с ростом k, за исключением состояния с четырьмя электронами, которое
является первым неполностью антисимметричным состоянием.
Хотя энергия "s-состояний меньше энергии яр-состояний, однако первым
возбужденным состоянием атомов с k=\ или k = 2 является k=\, (ns)(npf\ k
= 2, (ns) (np)3, т. e. при этом один "s-электрон переходит в яр-
состояние. Это приводит к увеличению валентности на две единицы и дает
большее число связанных молекул. О таблице Менделеева можно было бы еще
многое сказать даже с точки зрения теории групп. Например, заметили ли
вы, что все ферромагнитные элементы (Ni, Со, Fe, а также Мп в сплавах)
находятся в неполностью заполненной Зс1-оболочке? Или .... Но здесь мы
остановимся-
66
Л. МИШЕЛЬ
2.8. АТОМНЫЕ СОСТОЯНИЯ В ДАННОЙ ОБОЛОЧКЕ. СПИН-ОРБИТАЛЬНАЯ СВЯЗЬ
Принцип Паули учитывает статистику Ферми и упрощает изучение атома.
Вместо того чтобы изучать систему п электронов, мы можем в рамках
хорошего приближения (для не слишком высоковозбужденных состояний)
рассмотреть k электронов вне заполненной оболочки, обладающей моментом
количества движения, равным нулю, и электрическим зарядом (n~k)e
(распределение заряда зависит от волновой функции электронов). Такую
заполненную оболочку можно считать сфе-рически-симметричным потенциалом,
и гильбертово пространство состояний k электронов в "/-оболочке имеет вид
= '/\{Ж21+1(r)Ж2). (2.52)
В хорошем приближении электронное состояние есть антисимметричный
разложимый тензор порядка k: х Д у Д z ...
(k множителей).
Пример. Пусть 1=1, k = 2, dim Ш(Х) = dim (r) Х2) = 6 и dim5^(2) == 15 = ^ g
) > Для & = 6 dim"^(6) = I (полностью заполненная оболочка). Каждому
разложимому тензору пространства можно дать название или обозначить
символом. Именно это делает спектроскопист, пользуясь полным набором
наблюдаемых L2, S2, J2 = (L + S)2, 1г, т. е. орбитальным моментом
количества движения I, спиновым моментом количества движения s, полным
моментом количества движения j и его проекцией /3 на ось х3.
ТАБЛИЦА 2.5
Состояния fS (яр)2 в порядке возрастания их энергии
Спектроскопическое обозначение 3Р0 гР\ ЪР2 'Р>ч '^о
L и симметрия орбитального состояния 1 В 1 В 1 В
2 Ш О Ш
S и симметрия спинового состояния 1 Ш 1 Ш 1 Ш О В
О В
Полный угловой момент J 0 12 2 0
Число состояний =2/ + 1 1 + 3 + 5-1-5-1-1 = 15
(L • S) -2-1 1 0 0
Замечание к табл. 2.5. Заметим, что, как уже подчерки-
валось выше, антисимметричные по координатам состояния
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
57
типа 3 (Р-состояния) соответствуют меньшей энергии, чем состояния типа ш.
В случае симметричных по координатам состояний для 5-состояния
отталкивание проявляется сильнее, чем для D-состояния, поэтому и
расположено оно по энергии выше. Почему же P-состояния появляются в
порядке увеличения /? Причина заключается в небольшом эффекте спин-орби-
тальной связи, который можно объяснить следующим образом.
Орбитальное состояние с моментом количества движения Lh создает магнитный
момент (eh/2mc) L, тогда как спиновое состояние с моментом количества
движения Sh создает магнитный момент g(ehl2mc) S с g = 2 [см. уравнение
(2.49)]. Матричный элемент взаимодействия этих магнитных моментов имеет
вид1)
Для состояния | j, I, s) среднее значение оператора L • S можно легко
вычислить с помощью формулы
J2 = (L + S)2 = L2 + 2L-S + S2. (2.54)
Среднее значение в состоянии | у, I, s, у2) (у2- собственное значение
оператора /2) равно
(L-S) = i-(/(y + l)-Z(Z+l)-S(s+l)), (2.55)
где
| I - s|^y^Z + s, I и у + s- целые неотрицательные числа.
(2.56)
Это объясняет значение величины (L • S) в табл. 2.5.
Мы уже видели, что для водорода (п | Р-31 n)~(Za/n)3, так что среднее
значение энергии спин-орбитального взаимодействия имеет порядок
/, С\ (z°)2 z"2 (L• S) " 2 1П-4 .
<l's)A2^ n--------------Zn^r~Z a2~10 &n
В атоме натрия (принадлежащего группе щелочноземельных элементов)
основное состояние [(Is)2(2s)2(2р)6]3s и состояние [ ](3р) обладают
наибольшим расщеплением по энергии ~ 10~3, так что очень яркая 3р-3s
