Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
или, перенося все неизвестные в левую часть,
R (ю dt) В-1 («сопутств d-Х) = В-1 (Р + d$) В (P). (41.43)
Первая задача — заменить имеющую не вполне ясный смысл величину изменения скорости (dp) правильной величиной («сопутств c^t) — важный этап в решении проблемы вычисления самой прецессии Томаса.
§ 41.3. Спиноры 405
Когда принципы установлены, расчет производится путем подстановки соответствующих выражений для всех четырех множителей в (41.43) и вычисления обеих сторон уравнения до первого порядка малости следующим образом:
I — (i dt<a -f dxa) -о/2 = [сії (а'/2) — (па> -о) sh (а'/2)] X
X [ch. (а/2) -f (па -а) sh (а/2)]. (41.44)
Здесь а и па — параметр скорости и единичный вектор, входящие в скорость Р; a' = a + da и па- = па + dna входят в P + dp. С помощью методов матричного исчисления раскрываем правую часть (41.44), записывая a' = a + da и па- = па -f dna и применяя правило дифференцирования произведения. Приравниваем коэффициенты при —а,2 и —го/2 в обеих частях уравнения. Таким образом, находим
“соиутств dr = (da) Wcc + (sh a) dna (41.45)
и
© dt = [2sh2 (a/2)] dna X na. (41.46)
Первое из этих выражений дает изменение скорости с точки зрения сопутствующей инерциальной системы. Второе выражение дает прецессию, наблюдаемую в лабораторной системе. В случае малых скоростей выражение для прецессии Томаса принимает вид
ю = а х р/2. (41.47)
Здесь a — ускорение. Для прецессии важна только компонента ускорения, перпендикулярная скорости.
Элементарное описание роли прецессии Томаса в атомной физике см., например, в работе [384].
§ 41.5. СПИНОРЫ
Выкрасим каждую из граней куба в разный цвет. Затем соединим каждый угол куба с соответствующим углом комнаты эластичной нитью (фиг. 41.5). После этого повернем куб на угол 2я = 360°. Нити окажутся закрученными, и раскрутить их невозможно. Ни одна из нитей не может лежать вдоль прямой линии. Теперь повернем куб вокруг топ же оси еще на 2л. Нити закрутятся еще сильнее. Однако, затратив некоторое усилие, теперь можно выпрямить закрученные нити (фиг. 41.6). После этого каждая нить, так же как и вначале, проходит по прямой линии от угла куба к соответствующему углу комнаты. Вообще вращения на 0, ±4я, ±8я, . . . оставляют куб в том же «отношении ориентация — запутанность» с его окружением, тогда как вращения на ±2я, ±6я, ±Юл, . . . оставляют неизменной лишь ориентацию куба, но не «отношение ориентация — запутанность» с его окружением. Очевидно, в геометрии ориентации есть нечто такое, чего обычное
Угловая
скорость
прецессии
Томаса
Отношение ориентация — запутанность
2
406 41. Спиноры
Определение
спинора
Лореацево
преобразование
спиноров
ФИГ. 41.5.
«Отношение ориентация — запутанность» между кубом и стенками комнаты. Вращение на 360° запутывает нити. Может показаться, что вращение на 720° еще сильнее их запутывает, но вместо этого после такого вращения становится возможным полностью распутать нити.
понятие ориентации не охватывает; отсюда и возникает понятие «отношение ориентация — запутанность», или (более краткий термин) «закрученность». Имеется ли, кроме того, физически обпару-жимое различие двух неэквивалентных состояний кручения объекта (например, различие в контактном потенциале между металлическим объектом и его металлическим окружением), не известно [410].
Спиновая матрица, связанная с вращением,
R = cos (0/2) — і (п-в) sin (0/2), (41.48)
меняет знак при повороте на нечетное число 2л, отражая тем самым различие между двумя неэквивалентными состояниями кручения. Это изменение знака никогда не проявляется в законе преобразования векторов, как это видно из формулы
X-^X1=RXR1 (41.49)
(два множителя R; знак меняется в каждом из них!). Изменение знака действительно проявляется при переходе от вектора к двухкомпонентной величине, преобразующейся по закону
I-+I' = Rl- (41.50)
Такая величина известна под названием спинора. Спинор меняет знак на противоположный при вращении на 360°. Поэтому он позволяет разумным образом описать различие двух неэквивалентных закручепностей куба. Вообще с каждым отношением ориентация — запутанность куба и его окружения можно связать свое значение спинора L Более того, эффективность использования понятия спинора в теории вращения этим не ограничивается. Для самой общей комбинации буста и вращения можно записать
I-+I' =Ll. (41.51)
§ 41.5. Спиноры
407
•МІГ. 41.К.
Ооъект сішиїи Cu сипим окружением а.кииршымн нитями, как на фш . 4l..V Сідсть іюка.іано восемь нитей. но можно нп.іь.ишатьен .ініГімм л\ числом.! HpanuiH оііьект на 72с н аатем с.чедуи 11 [ к >іи-;і > ре ь'дпард МакДональд., нокаааннгііі на рисунках 2 -S (при атом ооьект остается фпкеїірокашшмі. .мы находим, что енязьшаюіцие нити пкааьпіаіптоі распутанными, как на рисунке Ч.
2
Второй тип спиноров
408 41. Спиноры
Когда буст и вращение инфинитезимальны, явный вид этого преобразования весьма прост:
I' = [1 — (і с1Ш) (п-о) + (сф/2)-о]
или, согласно (41.1),
