Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
эксперименты
ЧАСТЬ
ГРАНИЦЫ
Здесь читатель, который на протяжении сорока глав (не считая предисловия) вел жизнь, полную разнообразия: в течение восьми глав он был математиком, четыре раза его переманивали (один раз — старый друг), в течение четырех глав был космологом, на протяжении следующих четырех глав — астрофизиком, перенесшимся в страну черных дыр, и, наконец, унаследовал богатую ьоллещию экспериментов, жил честно и стал истинно правоверным, теперь отваживается на исследование новых границ, которые ему еще предстоит завоевать.
41. СПИНОРЫ
2
Эта глава целиком относится к курсу 2. Для подготовки к ней не требуется никакой предшествующий материал курса 2, и сама эта глава не обязательна для подготовки к чтению всех последующих глав
§ 41.1. ОТРАЖЕНИЯ, ВРАЩЕНИЯ И СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ
Понятие спиноров и их применение в теории относительности возникли из исследований «вращений» — сначала в пространстве, а затем в пространстве-времени. Возьмем куб (фиг. 41.1). Повернем его вокруг одной из осей на 90°. Затем выберем другую ось под прямым углом к первой. Вокруг новой оси вновь повернем куб на угол 90°. Таким образом, куб переведен из одной ориентации. которую мы будем называть «начальной», в другую, которую обозначим как «конечную». Как можно осуществить это преобразование в один прием, одним вращением? Другими словами, по какому закону происходит сложение вращений?
Если бы вращения описывались векторами, можно было бы применить закон сложения векторов. Результирующая двух векторов одинаковой величины (90°) под прямым углом друг к другу представляет собой один вектор, который 1) лежит в той же плоскости и 2) имеет величину 2in X 90° = 127,28°. Оба эти предсказания не верны. Чтобы перевести куб из начальной ориентации в конечную одним поворотом, нужно 1) взять ось, проходящую от центра через вершину А, и 2) повернуть куб на угол 120°.
Каким же вычислительным алгоритмом может быть представлен, казалось бы столь странный, закон сложения вращений? Вечером 16 октября 1843 г. Уильям Роуен Гамильтон прогуливался со своей женой вдоль Королевского канала в Дублине, когда ему в голову неожиданно пришел ответ на этот вопрос — плод многолетних раздумий. Он сразу же нацарапал ножом на одном
Проблема
сложения
вращений
2
392 41, Спиноры
ориентация
ориентация
ФИГ. 41.1.
Вращение вокруг вертикальной оси на 90°, за которым следует вращение вокруг горизонтальной оси на 90°, приводит к результирующему изменению ориентации, которое может быть достигнуто одним вращением на 120° вокруг оси, проходящей от центра через угол А.
Операторы
вращения:
1) определение
2) как аппарат для сложения вращений
из камней Бругэмского моста такие формулы 1): Z2 = j" = Ar = ij Ti = — 1, которые в современных обозначениях
0 1 1 0
' Qy : принимают вид
0 — і і 0
0\ 0Z
ik (41.1)
a2 =O2 — о2 = 1,
х у z 1
(с циклической перестановкой -2)
индексов).
Каждому вращению приписывается величина («кватернион» Гамильтона; современные названия «спиновая матрица», «спинор-ное преобразование» или же «оператор вращения»)
R = cos (Б/2) — і sin (0/2) (CT1Cos а + Oy cos P + Oz cos 7). (41.3)
где 0 — угол вращения, a a, P и у — углы между осью вращения и осями координат. Вращение, описываемое величиной R1. за которым следует вращение, описываемое величиной R2, дает полное изменение ориентации, описываемое одним вращением
R3 = RiR1- (41/*)
Это формула Гамильтона для сложения двух вращений (некоторые щаги к ее получению были сделаны Эйлером в 1776 г.; в 1819 г.
1J В том же городе 21 июня 1972 г. президент Имон де Валера рассказы-
вал одному из авторов, что, находясь в тюрьме в один из вечеров 19IU г. в ожидании расстрела, назначенного на следующее утро, он записал понравившуюся ему формулу і2 = ,Я = к- = гJk = —1.
§ 41.1. Отражения, вращения и сложение вращений
393
ФИГ. 41.2.
Отражение в плоскости MPQ переводит А в В. Отражение в плоскости APQ переводит В в С. Комбинация двух отражений в плоскостях, угол между которыми 0/2, приводит к тому же конечному результату (преобразование от Л к С), что и вращение на угол 0 вокруг линии PQ.
формула была получена Гауссом, но он никогда ее не опубликовывал).
В примере на фиг. 41.1
.R1 (вращение на угол 0 = 90° вокруг оси z) -= (I — ioz)/21/2,
Rz (вращение на угол 0 = 90° вокруг оси х)=(1 — Iax)/21/з, а их произведение есть
RiRl = ("I '— І&Х "Ь “Ь ^0г)/2 =
--- cos 60° — і sin 60° (ож/31/2 — Gyl31/2 4- Oz/31/2).
Согласно правилу Гамильтона (41.3), этот результат означает вращение на 120° вокруг оси, проходящей под равными углами к осям х, у и z, в согласии с тем, что мы уже видели на фиг. 41.1 (ось вращения проходит через центр куба и вершину А).
То же самое можно проделать и в общем случае: получить параметры 03, а3, рз, уз результирующего вращения (четыре неизвестные), приравнивая четыре коэффициента при четырех единичных матрицах Гамильтона I, —iax, —iay, —iaz в правой и левой частях уравнения R3 = R2R1- Таким путем мы приходим к четырем докватернионным формулам Родригеса [928] для сложения двух вращений.
