Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
причем
х' = X — (dQXy) у — (dQxz) Z,
y' = —(dQyx) х + у — (ddyZ) z, (41.10)
2' = — (ddzx) х — (dQ:y) у + z.
Спинорное исчисление дает другой («стенографический») метод вычисления указанного выше действия вращения на вектор. Свяжем с вектором х спиновую матрицу
X = хох — уоу — Zoz = (ас-о), (41.11)
а с вектором х' — соответствующую спиновую матрицу или кватернион X'. Тогда действие вращения кратко описывается следующей формулой:
X^X' =RXR*. (41.12)
*•) «Активное» преобразование переводит один вектор в другой, оставляя неизменной лежащую в основе систему отсчета (если таковая имеется). В противоположность этому «пассивное» преобразование оставляет без изменения все векторы, но изменяет систему отсчета. Все преобразования в предшествующих главах этой книги являются пассивными.
ИнфшштезималЬ' ние вращения
Предста в.іение 3-векторов в виде спиновой матрицы
Описание вращения 3-вектора на языке спиновой матрицы
2
398 41, Спиноры
Построение
конечного
вращения
из иифинитези-
мальных
вращений
Проверим справедливость этой формулы для общего инфините-зималыюго вращения (41.10). Она дает
(ас' -а) — [I — (i dQ/2) (а-п)] (ас-о) [I + (i dQ!2) (o-n.)], или в первом порядке по dQ
(х'-а) = (ас-о) 4- (i dQ!2) [(ас-а) (а-п) — (а-п) (ж-а)]. (41.13)
Произведение спиновых матриц А = (а -а) и В = (b-а), построен-
ное из двух различных векторов а и 6, имеет вид
AB — (а-а) (Ь-а) = axbxo% -f ахЬ^ахау -f . . .,
или, согласно (41.2),
AB = (а-Ъ) + і (а X Ь) -а. (41.14)
Применим эту формулу для вычисления правой части формулы
(41.13). Члены с (ас -от.) в квадратных скобках имеют противоположные знаки и сокращаются. Напротив, члены с (п X ас) обладают одним и тем же знаком. Их комбинация приводит к сокращению множителя 2 в (dQ/2). В результате
(х' -а) = (х •о) -f dQ (п X ас) -о
или
ас' = [1 + (<20) п х] ас (41.15)
в согласии с (41.10), что и следовало показать.
Конечное вращение вокруг заданной оси можно рассматривать как совокупность инфинитезимальных вращений вокруг этой оси. Чтобы придать этой совокупности наиболее простую форму, перепишем спиновую матрицу (41.8), связанную с общим инфи-нитезимальным вращением, в виде
R (сШ) = е~(«*0/2) (а-п) (41.16)
(экспоненциальная функция определяется разложением в степенной ряд). Заметим, что (а-п) коммутирует а) с единичной матрицей, б) сама с собой и, кроме того, в) ее квадрат равен единичной матрице. Таким образом, вычисление экспоненциальной функции для спиновых матриц проводится точно так же, как и в обычной алгебре. Процесс объединения спиновых матриц, соответствующих инфинитезимальным вращениям вокруг неизменной оси, производится путем добавления экспонент и дает
R (0) = g-»(0/2) (о-»), (41.17)
что можно также сразу получить из формулы (41.7). Это выражение можно представить в другой форме, разложив его в степенной
§ 41.3. 1!реобразование Лоренца на языке алгебры спиноров 399
2
ряд:
OO
Л(0)- 2 (1Др!) ( —i0a-»i/2)p=--
P=O
= 2 (1/р!)(-і0/2)Р + (а.п) S (Up'.) (-№)* =
четное P нечетное р
= cos (0/2) — і sin (0,/2) (а-п) (41.18)
в согласии с выражением (41.3), приведенным для преобразования спиноров. Действие на вектор одного инфинитезимального преобразования вращения за другим дается выражением
X' = R (dQ) . . . R (dQ) XR* (d0) . . . R* (dQ);
поэтому даже для конечного вращения R — R (Q) мы вправе использовать формулу
X’ =RXR*. (41.19)
41.3. Дополнительные свойства матрицы вращения
Покажите, что для X = х-а справедливо следующее коммутационное соотношение:
[(о*и), X] = 2і (п X ж)-о.
Воспользуйтесь им, чтобы получить из соотношения (41.19) в форме X = RX0R* [где Z0 — постоянная, в то время как R (0) дается выражением (41.17)] следующую формулу:
^(х*о) = (п х ж)-а.
Почему эта формула эквивалентна обычному определению угловой скорости
dx w-i
-j- = о X х г at
Обратив доказательство, покажите, что уравнение (41.7') правильно определяет вращение R (t) с угловой скоростью © (t). зависящей от времени, несмотря на то, что простое решение этого уравнения R = exp [—1Lit (а .(о)] нельзя написать, если © не является постоянной.
§ 41.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА НА ЯЗЫКЕ АЛГЕБРЫ СПИНОРОВ
Если два отражения в пространство порождают вращение, то почему бы не свести преобразование Лоренца к двум отражениям в пространстве-времени? И если для этого потребуется перейти от действительного половинного угла между двумя плоскостями
УПРАЖНЕНИЕ
4-векторы и преобразования Лоренца на языке
СПИНОВЫХ
матриц
400 41. Спиноры
X =
(41.22)
отражения к комплексному половинному углу, то в таком обобщении не будет ничего удивительного, не удивит нас и то, что мы по-прежнему сможем представлять действие преобразования Лоренца с помощью матричного умножения в форме
X->X'=LXL*. (41.20)
Здесь «спиновая матрица лоренцева преобразования» L является обобщением матрицы вращения R. Точно так же «генерирующая координаты спиновая матрица» X теперь представляет собой обобщение (41.11), так что
