Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Совершенно невырожденный Да(3;,6 = Д =^aer 61 = Существуют полностью симмет-
тензор кривизны Римана =д ¦ Д =O- ричный спинор Ч'авсв («вейлев-
(пространство, в котором ([“PHvS])’ а [руб] ¦ ская» или «конформная» часть
присутствует вещество) (20_ алгебраически различных КрПВИЗНЫ) или часть нелокально-
ОиШОНЄНТ) го происхождения), скаляр Л (ко-
торым определяется след той части кривизны, которая ішеет локальное происхождение) и егшнор
ф . . = ф ..=((?)
ABUV (AS) (UV) ' \ABUV
(которым определяется бесследо-довая часть кривизны локального происхождения, последняя из трех неприводимых частей тензора кривизны), такие, что
RAUBVCWDX ~ ^ABCDe^re ir X
+ еАВеСд(Ф) Ijy^i +
+ 2Л (EAceBOeUFeI^V-T
+ ЄавЕСДЄ^Є^) +
+ Є А В® CD Ц у'Е \у X "Г ABWXeUV
2
414 ?!• Спиноры
Продолжение
Величина Тензорный язык Спинорный язык
Каждая физическая величи- Каждая локальная физическая Чтобы обеспечить требуемое йена описывается геометри- величина вписывается тензором приводимое представление группы ческим объектом. Каждая с некоторым присущим ему L\+ для описания физической локальная физическая ве- рангом и определенными свой- величины, соответствующий ей личина описывается с по- стваын симметрии спинор должен быть полностью
мощью математической ве- симметричным по всем индексам
личины, которая преобра- без точек и также полностью сим-
зуется при собственном до- метричным по всем индексам с
кальном преобразовании точками
Лоренца как «неприводимое представление группы L\+ собственных преобразований Лоренца»
§ 41.8. СПИНОВОЕ ПРОСТРАНСТВО И ЕГО БАЗИСНЫЕ СПИНОРЫ
Линейная
независимость
спиноров
«Пространство» элементарных спиноров двумерно. Поэтому оно покрывается любыми двумя линейно независимыми спинорами И Ra- Кроме того, легко выявить возможную линейную зависимость пары спиноров, т. е. существование соотношения вида Ra = const ХА. В этом случае скалярное произведение \iA и Xа, так же как скалярное произведение Xa и Xа (41.67), автоматически обращается в нуль. Поэтому не равное нулю скалярное произведение
ф О (41.79)
является необходимым и достаточным условием линейной независимости двух спиноров.
В самом общем случае 4-вектор допускает представление в виде линейной комбинации четырех базисных векторов. Аналогично спинор в самом общем случае допускает представление в виде линейной комбинации двух базисных спиноров:
шА = XIа
R1T
(41.80)
Базисные CuiiHO-ры и спинорные пары
Под термином «базисный спинор» здесь подразумевается то, что Sa и TIa удовлетворяют нормировочному условию
IatIa = 1 (= -Па1а). (41.81)
Из этого условия мы получаем простые выражения для коэффициентов разложения в (41.80)
X = -TIaWa (т ц = 1а«а ( =
-UbIb)-
(41.82)
§ 41.9. Спинор как флагшток -)- флаг-(- отношение о.— з. 415
2
Подстановка этих коэффициентов разложения обратно в (41.80) может воспроизвести любой произвольно выбранный спинор (0А. Другими словами, следующее уравнение должно быть тождеством для компонент о» в:
= ZabWb = (ЕА11В — Т1ДЕВ) (41.83)
Из этого обстоятельства следует, что два базисных спинора связаны соотношениями
IAnB _ ^Agn = еАВ. (41.84)
Если даны два базисных спинора Iа и г]а, то можно получить два столь же хороших базисных спинора, написав
SA _ рА
Tb /, гд (41‘85)
<в = 1I +
где а — любая действительная или комплексная постоянная. В этом мы сразу же убеждаемся подстановкой в (41.81) или (41.84). Самая общая «спинорная пара» для заданного спинора ?А, удовлетворяющая нормировочному условию (41.81), имеет вид
(41.85).
§ 41.9. СПИНОР, РАССМАТРИВАЕМЫЙ КАК ФЛАГШТОК ПЛЮС ФЛАГ ПЛЮС ОТНОШЕНИЕ ОРИЕНТАЦИЯ - ЗАПУТАННОСТЬ
Как можно наглядно представить себе спинор? Нацелим лазер, нажмем спусковой крючок и пошлем импульс в 1 мегаджоуль из того события в пространстве-времени, где мы находимся (событие ©), в другое событие в пространстве-времени (событие центр кратера Аристарха, 400 ООО км от 0 в пространстве и 400 000 км от 0 по времени движения света). Лазер сконструирован для этой цели так, чтобы образовывать не просто пятно света, а светящуюся стрелку. Следуя Роджеру Пенроузу, будем говорить о нулевом векторе 0еР как о «флагштоке» и об освещенной стрелке как о «флаге». Спинор (фиг. 41.7) состоит из комбинации 1) нулевого флагштока, 2) флага и 3) отношения ориентация — запутанность флага и его окружения. Будем «вращать флаг», производя повторяющиеся выстрелы из лазера и слегка поворачивая лазер вокруг его оси в промежутках между следующими друг за другом выстрелами. Когда флаг повернулся на 360° и принял свое первоначальное направление, спинор изменил знак. Вращение флага вокруг флагштока на четное число 2я восстанавливает первоначальное значение спинора.
Мы приходим от спинора математического объекта с двумя комплексными компонентами E1 и ?2, к геометрическому объекту, состоящему из «флагштока, флага и отношения ориентация —
Геометрическое
описание
спинора:
2
416 41. Спиноры
1) нулевой
