Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
X = t + {x>o), (41.21)
или
t 4-Z X—iy
x-\-iy t — Z
Требуется, чтобы эта матрица была эрмитовой:
Z = X*. (41.23)
В этом и только в этом случае координаты (t, х, у, z) принимают действительные значения. Сопряженная транспонированная матрица, соответствующая спиновой матрице, также должна быть эрмитовой:
(Z')* = (LXL*)* = (L*)* (X*) (L)* = LXL* = Z'. (41.24)
Таким образом, гарантируется, что новые координаты (t', х', у', z') действительны, как и требовалось. Это требование, чтобы координаты принимали действительные значения, логически обосновано для формы спинового матричного преобразования (41.20), где L стоит с одной стороны от I, a L* — с другой.
Преобразование Лоренца определяется тем условием, что оно оставляет инвариантным интервал:
f2 - X12 - у’2 - z'2 = t2 — Z2 - у'2 — Z2. (41.25)
Заметим, что детерминант матрицы X, выписанной выше, имеет значение
det X = iE2 — х~ — у2 — Z2. (41.26)
Следовательно, требование сохранения величины интервала можно привести к следующему виду:
det X' = det X, (41.27')
или
(det L) (det X) (det L*) = det X. (41.28)
Это последнее требование удовлетворяется, если потребовать
det L = I. (41.29)
[Обобщенно, которое сводится к умножению каждого элемента /. на общий фазовый множитель е‘6 и тем самым к умножению det 1.
§ 41.3. Преобразование Лоренца на языке алгебры спиноров 401
2
на е2і6, не имеет смысла, поскольку такое умножение на фазовый множитель не меняет формулу X' = LXL*.]
Спиновая матрица, связанная с конечным или инфинитези-мальным вращением, уже удовлетворяет условию det L = 1 (что доказывается в упражнении 41.2). Это условие, являясь алгебраическим, будет по-прежнему выполняться, если действительные углы <30,,,, d0za:, dQxy заменить комплексными углами dQyz + + і dax, dQzx + і day, dQxy + і daz. В итоге спиновая матрица преобразования обладает шестью параметрами, что и необходимо для описания общего инфинитезимального лоренцева преобразования. Таким образом, спиновая матрица для общего лоренцева инфинитезимального преобразования может быть представлена в виде
L = I — (i/2) (ах dQyz + ау dQzx + Oz dQxy) +
+ (1/2) (ax dax + a,, da.,, + Oz da,) =
= I - (i dQ!2) (o-n) + (a-da/2). (41.30)
Действие этого преобразования на координаты должно описываться формулой
Х-+Х' = LXL*,
или
t' + (а-ж') = [1 — (г <30/2) (а-n) + (o-da/2)\ X Xf/ + (а-ж)] [1 + (г dQ/2) (o-n) + (a-da/2)]. (41.31)
Воспользуемся формулой (41.14) для (о -А) (О'В), чтобы правую часть привести к виду
t + (о-ас) + (a-da) t + dQ (п X х)-а + (x-da).
Теперь сравним коэффициенты при 1, ох, ау и Oz в обеих частях этого уравнения и получим
t' = t + (х-da), (41.32)
х' = х + t da + dQ {п X х).
Это согласуется с обычным выражением для инфинитезимального преобразования Лоренца, или «буста», со скоростью da в активной форме, что и следовало показать.
Совокупность подобных инфинитезимальных преобразований Лоренца дает конечное преобразование Лоренца. Однако результат легко получить лишь в том случае, если все инфинитезималь-ные преобразования коммутируют. Поэтому предположим, что dQ и da находятся в фиксированном отношении друг к другу, так что
dQ da
wtsn-T- ii a = — ат от
являются константами, а т — параметр. Тогда интегрирование по т (сложение инфинитезимальных преобразовании) дает конечное преобразование L = exp [—V2Zto •(<» + ia) 1. При т = 1, так
Инфинитезпмаль-ные преобразования
Лоренца
Построение
конечных
преобразований
Лоренца
из инфпнитези*
мальных
преобразований
^O-OIS
402 41. Спиноры
как Qn = ют, а = ат, L принимает вид
L = exp [(а — і Qn)-а/2]. (41.33)
В частном случае чистого буста (без вращения, 0 = 0) экспоненциальная функция вычисляется как показано в (41.18), и в результате мы получаем
L = ch (а/2) + (па ’в) sh (а/2). (41.34)
Здесь па — а/а — единичный вектор в направлении буста. Соответствующее преобразование Лоренца вычисляется по формуле
Z' = LXL*,
или
t' -j- (X' ¦ а) = [ch а/2 + (па • о) sh а/2] [? + (х • а)] х
X [ch а/2 + (м-а ¦ о) sha/2], (41.35)
Произведем упрощения с помощью соотношений
ch2 (а/2) -j- sh2 (а/2) = ch а,
2 sh (а/2) ch (а,/2) = sh а,
(па-о)(х-а) (па -а) = 2 (па ¦ х) (па ¦ о) — (па -па)(х-о)
и, сравнивая в обеих частях уравнения коэффициенты при 1 и а, найдем
t' = (ch a) t -f (sh а) (па-х), х' = [(sh a) nat + (ch а)(па- х) м,а] + [х — (х • па) па]. (41.36)
«продольная часть преобразования»]— «перпендикулярная]
часть х не меняется»]—
Таким путем мы убеждаемся, что величина а представляет собой обычный «параметр скорости», связанный с самой скоростью соотношениями
(1 — р2)-1'2 = ch а,
P (1 - р2)-1^ = sh а, (41.37)
P = th а.
Тот факт, что параметры скорости для последовательных бустов в одном направлении складываются, нигде не проявляется так отчетливо, как в представлении (41.33) спиновой матрицы преобразования:
L (а2) L (аг) = exp [a2 (па -а)!2] exp Ia1 (па -<х)/2] =
= exp [(a2 + ах) (па -а)/2] = L (а2 + ах). (41.38)
