Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
вектор
(флагшток)
ФИГ. 41.7.
Спинор, представленный с помощью 1) «флагштока» (терминология Пенроуза; траектория импульса света, нулевой вектор Q&0), 2) «флага» (стрелка (3а-*¦), перенесенного на поверхность Луны лазерным импульсом, испущенным с Земли [наверху в увеличенном виде показан сам флаг (заменяющий стрелку)], п 3) отношения ориентация — запутанность между флагом и его окружением (символически изображенного в виде веревочек, протянутых от углов флага к его окружению). Когда сам спинор умножается на множитель р«г0’ компоненты нулевого вектора (флагштока) умножаются на множитель р и флаг поворачивается на угол 2а вокруг флагштока.
запутанность», в два этапа: сначала флагшток, затем флаг. Таким образом, переходим от спинора |А к действительному нулевому 4-вектору «флагштока» с помощью формулы
ИЛИ
(t + z) (x—iy) ?1|Ї ?l|2
(x + iy) (t—z) ?2|ї ?.2|2
(41.86)
(41.87)
§ 41.9. Спинор как флагшток -J- флаг -J- отношение о. —з. 417
2
У правой матрицы первый ряд с точностью до множителя Ij1/Ij2 совпадает со вторым рядом. Поэтому детерминант этой матрицы обращается в нуль. То же справедливо и для левой матрицы. Поэтому 4-вектор 05* = (t, х, у, z) является нулевым вектором. Умножая спинор |А на не равное нулю комплексное число % = = peia (р, о действительны), мы «растягиваем» этот вектор на фактор р2; однако направление вектора не меняется. На 4-вектор не действует также выбор угла а. Другими словами, этот нулевой 4-вектор однозначно фиксируется спинором, но спинор не фиксируется вполне однозначно 4-вектором. Данному 4-вектору соответствует целое семейство спиноров. Они отличаются друг от друга фазовым множителем вида eia («фактор флага»).
Продолжая поиски проявления влияния фактора флага, обратимся от действительного вектора (с четырьмя компонентами), образованного спинором ?А, к действительному бивектору (с шестью компонентами), образованному тем же спинором:
^ F^v = + Елв (|}v ^ ^
V-+BV.
Тот факт, что эта величина обладает не более чем шестью различными компонентами (F= — Fv^), следует из изменения знака
правой части (41.88) в результате перемены местами А с В и U
с V. Чтобы раскрыть смысл этого бивектора, будем обращать внимание на каждое появление в (41.88) фактора еАВ. Всюду вместо этого фактора подставим выражение (41.84), связывающее^ этот фактор с исходным спинором ?А, и введем дополнительный спинор т]А, необходимый наряду с ?А, чтобы обеспечить базис для всех спиноров. Следуя по такому пути, находим
Fliv-+ Fab^ = fcB (IV - 4bf) + (ГУ - ^IaSb) ft =
= tf (I V + 4Bf) - (cV + 4Af) ft =
= xauybv _ yauxbv _^ xlXyV _ (41.89)
Таким образом, 2,2-спинор, построенный из ?А, представляет собой бивектор, образованный из двух 4-векторов х и у. Первый из них является «действительным нулевым вектором флагштока», который, как мы уже видели, однозначно определяется спинором ?А. Второй вектор
у* ^yau = iA4V + (41.90)
также определяется спинором ?А, но не однозначно, поскольку для |А неоднозначен выбор «спинорной пары» Т]А. Перейдем от одного выбора парного спинора т)А к новому выбору [формула
(41.85)]:
tIaHob = т]А -j- а|А. (41.91)
27—018
2) бивектор (флаг) и его отношение ориентация — запутанность
2
418 41. Спиноры
Вращение флага
вокруг
флагштока
Соотношения,
связывающие
спинор,
флагшток и флаг
Тогда действительный 4-вектор упереходит в новый действительный 4-вектор
!/mHob = ^ + (а+ а) Л (41.92)
Если бы 4-вектор у был однозначно определен, то перпендикулярно флагштоку была бы направлена стрелка, а не флаг. Допустимая область изменения действительной постоянной ос + ос превращает одну стрелку в множество компланарных стрелок; это и есть флаг Пенроуза. Другими словами, выбор спинора ?А не фиксирует какой-то отдельной стрелки, но фиксирует целую совокупность стрелок и, таким образом, однозначно определяет флаг.
4-вектор у (и вместе C НИМ Унов) ортогонален нулевому 4-вектору х:
х-у = эд^-4-хд.г-=
= -?!- (6V + ч\4и) = о (41.93)
х является пространственноподобным:
У • У = — X + tIaIj7) (?^ + ^aW) =
= -4(^)(^)-4(1^) (If7^) = I (41-94)
(«единичная длина флага»).
Умножение спинора |А на «фактор флага» eia вращает флаг вокруг флагштока на угол 2о, поскольку парный^по отношению к |Л спинор г|А умножается на фактор е ia [см. условие нормировки (41.81)]. Эти изменения переводят вектор у в повернутый вектор упов, такой, что
Упов -> Ytk = V + в - 2iar\Af =
= cos 2а (iV + TJ-4It7) + sin 2а (%Ar\u- iitf?) ->
уа cos 2а + za sin 2а. (41.95)
Здесь 4-вектор z обладает теми же свойствами, что и вектор у: он является 1) действительным, 2) пространственноподобным, 3) единичным по величине, 4) ортогональным нулевому 4-вектору X флагштока и 5) однозначно определяется первоначальным спинором ?А с точностью до аддитивного действительного произведения (ос + ос) и х. Кроме того, г и у ортогональны. Таким образом, у и z образуют векторный базис в двумерном пространстве, в котором, говоря, быть может, слишком образно, происходит вращение «верхушки флага».
