Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
заданием десяти длин ребер промежуточного симплекса Этот
двугранный угол вместе с соответствующими двугранными углами, прилегающими к узлу .УЧІМ и образованными другими симплексами замкнутого набора, в общем случае в сумме не дают 2л. Разница —«подвижный угол», или недостающий угол б,— дает величину кривизны, сконцентрированной в узле Пока мы не пытаемся погрузить этот набор симплексов в повсю-
ду плоское четырехмерное пространство, в действительности нет пи какой подвижности или незаполненных промежутков (аналог развернутой совокупности треугольников, указывающий величину недостающего угла, на фиг. 42.1).
§ 42.3. Симплексы и недостающие углы 431
2
Дополнение 42.1. УЗЛЫ, ГДЕ КРИВИЗНА СКОНЦЕНТРИРОВАНА [В «ПОДВИЖНЫХ УГЛАХ» МЕЖДУ СТРОИТЕЛЬНЫМИ БЛОКАМИ В СКЕЛЕТНОМ МНОГООБРАЗИИ
Размерность многообразия 2 3 4
Элементарный плоский пространственный строительный блок треугольник тетраэдр симплекс
Число длин ребер, необходимое для задания блока 3 4 5
Узел, где комплект подобных блоков образует недостающий, или «подвижный», угол б вершина ребро треугольник
Размерность узла 0 1 2
«Емкость» узла 1 длина I площадь А
Вклад в кривизну многообразия всех углов внутри заданной малой области 2б* по этой области по этой области JjAiSi по этой области
Предельное значение этого вклада при переходе к непрерывности, выраженное в виде интеграла по той же малой области у J (2)R (Ъе)Ч*сРх L J (3)R ((3)^/2,? 1 2 j <*) Д(—<4>g)l/2d4z
Дополнение 42.2. СХЕМЫ ДЛЯ ИСЧИСЛЕНИЯ РЕДЖЕ
Скелетная 4-геометрия полностью определяется заданием всех длин ребер. Исходя из этих длин ребер, мы получаем проинтегрированную кривизну,' придерживаясь для каждого узла в 4-геометрии следующей схемы:
1
2
432 42. И счисление Редже
1
Такой анализ естественно проводить одним из следующих двух различных способов. Во-первых, можно получить сведения о данной 4-геометрии (о данном наборе длин ребер!) в том смысле, что
Во-вторых, — ив этом логическое оправдание исчисления Редже — можно использовать скелетное исчисление для вывода ранее неизвестной 4-геометрии из эйнштейновского закона геометродинамики, следуя такому направлению:
§ 42.4. Уравнения поля в скелетной форме 433
2
§ ]42.4. УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ В СКЕЛЕТНОЙ ФОРМЕ
Вместо того чтобы непосредственно переводить эйнштейновские уравнения поля на язык скелетного исчисления, Редже обратился к классическому вариационному принципу, из которого можно вывести эйнштейновский закон. Согласно этому принципу (см.
§ 21.2 и 43.3), в некоторой протяженной области пространства-времени при выполнении определенных выбранных граничных условий геометрию следует подбирать так, чтобы безразмерный интеграл (действие в единицах К)
I = (с3/16лМ) J R (—g)4*dkx (42.2)
имел экстремальное значение. Это утверждение справедливо,
когда в пространстве нет вещества и электромагнитных полей;
цель этого упрощения — избежать чрезмерной громоздкости при последующем изложении. Если, кроме того, все длины выражены в планковских единицах длины
L* = (HGlc3)V* = 1,6-10-33 см (42.3)
и интеграл от кривизны приближенно выражается через недостающие углы, то, как показал Редже, утверждение 81 = 0 (условие экстремальности!) принимает вид
н
^8 2 4& = 0. (42.4)
по узлам h= I
При тех изменениях, которые включаются в этот вариационный принцип, длины некоторых ребер считаются фиксированными. Они должны согласовываться с условиями, выбранными на границах изучаемой области пространства-времени. К счастью, здесь нет необходимости говорить о точной формулировке этих граничных условий, поскольку некоторые принципиальные вопросы, касающиеся формулировки граничных условий в общей теории относительности, остаются пока невыясненными (см. § 21.12). В действительности важен скорее эффект изменения длин ребер блоков внутри исследуемой области, когда они то увеличивают, то уменьшают недостающие углы в различных узлах. В своей основной работе, посвященной этому предмету, Редже [417] отмечает, что типичный недостающий угол 8h находится в сложной тригонометрической зависимости от значений длин большого числа ребер 1р. Однако он доказал (в приложении к своей работе), «что мы можем производить вариацию так, как если бы 8h были постоянными», сведя, таким образом, вариационный принцип к виду
н
4 s Wk = O. (42.5)
по узлам
Вариационный принцип Эйнштейна — Гильберта, приведенный
R ЄКЄЛЄТНОЙ
форме
28—018
2
434 Исчисление Редже
Эйнштейновское уравнение поля, приведенное к скелетной форме
Выбор? структуры решетки:
1) избежание подвижности
2) необходимость выделенных длин ребер
Здесь изменение площади h-го узла в форме треугольника, согласно элементарной тригонометрии, есть
8Ah = — 2 lpblp ctgQph. (42.6)
р
В этом выражении Qph — угол, противолежащий р-му ребру треугольника. Следовательно, эйнштейновские уравнения для пустого пространства в скелетной геометрии сводятся к виду
2 6АCtgOpft = о (P = 1,2, ...) (42.7)
по узлам, для которых ребро р является общим
