Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мизнер Ч. -> "Гравитация Том 3" -> 160

Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.

Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация Том 3 — М.: Мир, 1977. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyatom31977.djvu
Предыдущая << 1 .. 154 155 156 157 158 159 < 160 > 161 162 163 164 165 166 .. 210 >> Следующая


Г

?'2

I +-5-(—*0«j + Pz)

— ( i9yz—Эгж+Рж—фу)

~2 ( — + — Pz)

VtM

Il21

(41.52)

Для любой комбинации буста произвольной величины в z-направ-лении и конечного вращения вокруг оси z мы имеем

?'2

е-і/2і0жг/-М/2Рг

0

0

е1/2г0ад-1/2Рг

I2/

(41.53)

Чтобы отличить две компоненты спинора, обычно принято вводить индекс (прописную латинскую букву из начала алфавита), который принимает значения 1 и 2; таким образом, (41.51) принимает вид

1'а = LabIb. (41.54)

Смысл спиноров и состоит в отбрасывании половины формулы преобразования

X' = LXL*. (41.55)

Чтобы мы могли восстановить эту формулу, нам требуется также и другая ее половина. В нее входит комплексно сопряженное преобразование Лоренца. Поэтому введем еще один спинор Т], который преобразуется по закону

т)'U = Jp Y1V

(41.56)

IU = I, 2; V = 1, 2; точки и прописные буквы, взятые из конца алфавита, используются, чтобы отличать те компоненты, которые преобразуются с помощью комплексно сопряженной (без транспонирования!) спиновой матрицы преобразования Лоренца].

§ 41.6. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ

II СПИНОРАМИ

Вектор,

рассматриваемый как эрмитовый спинор

второго ранга

Чтобы совершить обратный переход от спиноров к векторам, заметим, что спиновая матрица X в (41.55) имеет следующую форму:

X = t + (ж ¦ а)

Ut + Z) (x — iy) I (х -f iy) (t — z)

Xil Xі'2
X21 Х22

(41.57)
§ 41.6. Соответствие между векторами и спинорами 409

где индексы взяты с точками или без точек в зависимости от того,

связаны они в (41.55) с L* или с L. Формула преобразования принимает следующий вид:

X'= LABL^\XB'V (41.58)

(транспонирование достигается автоматически путем упорядочивания индексов, поэтому здесь фигурирует а не L*^).

Коэффициенты этого преобразования тождественны с коэффициентами в законе преобразования «спинора второго ранга, один индекс которого без точки, а другой — с точкой»:

1'л^'Ъ = LabLu ЛВці. (4І.59)

В этом смысле можно говорить, что «4-вектор преобразуется как спинор второго ранга». Чтобы получить связь 4-вектора и спинора в явном виде, выпишем из (41.57) следующие соотношения:

X12 = X1 — іх2, X2*1 =T X1 jT ІХг,

(41.60)

В более компактной форме имеем

XAv — [fCTo _j_ (ac.o)]Atr _ xv(41.61)

где o0 — единичная матрица. Это уравнение сразу же указывает способ перехода от компонент 4-вектора пли «тензора с одним индексом» к компонентам соответствующего «1,1-спинора» (один индекс без точки п один с точкой).

С каждым действительным 4-вектором х* связан 1,1-спинор, который обладает свойством эрмитоеости в том смысле, что

Xau = Xva. (41.62)

Пример эрмитового 1,1-спинора дается выражением (41.61). Понятие эрмитовости можно сформулировать иначе и в более общем виде. С произвольным Л\А-сштором Ф, компоненты которого

ф-Aj ... AjvUi ... Un^ связан комплексно сопряженный спинор Ф, так что

(ф)Л1- ¦ -Vvu1- -Vs = (ф^1- • -VnAv . .Ay^ (41 63)

Ar1Ar-CnnHOp называется эрмитовым, если он равен комплексно сопряженному спинору.

2

N9 N-спинорьр и эрмнтовость
2

410 41. Спиноры

Алгебра

спиноров:

1) определение *ЛВ и eAB

2) поднимание и опускание спинорных индексов

3) скалярное произведение спиноров

4) отображение ¦между векторами « 1 ,!^спинорами

5) определение и*1 и ее связь « O1I

§ 41.7. АЛГЕБРА СПИНОРОВ

Из формулы (41.53) видно, что компонента спинора экспоненциально растет с бустом, так что она пропорциональна множителю е z, а другая компонента ? i экспоненциально падает с оустом. Если из двух спиноров I и 5 нужно построить величину, не зависящую от буста, то эту величину следует строить из таких произведений, как и I2^1. Этот рецепт с использованием произ-

ведений можно сформулировать иначе. Введем альтернирующие символы еАВ и еав, такие, что є12 = е12 =1 и

Eab = -Eba, Eab = -Eba; (41.64)

другими ненулевыми компонентами являются только Є21 = B21 = — 1. Определим спинор с нижним индексом через спинор с верхним индексом с помощью соотношения

Ia-IbSba (41.65)

и, обратно,

?В=ЄВС|С. (41.66)

Тогда скалярное произведение двух спиноров определяется как

IaIa- (41.67)

На величину этого скалярного произведения не влияют ни буст, ни вращение, ни какие-либо их комбинации

Га?'а = ZbBbaVa = (LbdId) Eba (LacIO) =

= (det L) IdEdcIc = Idc- (41.68)

При доказательстве используется тот факт, что выражение LbdEbaLac 1) обращается в нуль, если D=C, и 2) сводится к детерминанту L (единице!), если D = I, C = 2, или к детерминанту — L, если D = 2, С = 1. Заметим, что скалярное произведение равно взятому со знаком минус скалярному произведению |аСа. Скалярное произведение спинора самого на себя автоматически обращается в нуль («присущий спинору нулевой характер»).

Компоненты вектора с верхним индексом были выражены через компоненты 1,1-спинора с верхними индексами:

XAU — х\10^аЬ• (41.69)

аналогичное соотношение имеет место между вектором и 1,!-спинором с нижними индексами, так что

Z -=XllOi1 .. (41.70)
Предыдущая << 1 .. 154 155 156 157 158 159 < 160 > 161 162 163 164 165 166 .. 210 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed