Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Г
?'2
I +-5-(—*0«j + Pz)
— ( i9yz—Эгж+Рж—фу)
~2 ( — + — Pz)
VtM
Il21
(41.52)
Для любой комбинации буста произвольной величины в z-направ-лении и конечного вращения вокруг оси z мы имеем
?'2
е-і/2і0жг/-М/2Рг
0
0
е1/2г0ад-1/2Рг
I2/
(41.53)
Чтобы отличить две компоненты спинора, обычно принято вводить индекс (прописную латинскую букву из начала алфавита), который принимает значения 1 и 2; таким образом, (41.51) принимает вид
1'а = LabIb. (41.54)
Смысл спиноров и состоит в отбрасывании половины формулы преобразования
X' = LXL*. (41.55)
Чтобы мы могли восстановить эту формулу, нам требуется также и другая ее половина. В нее входит комплексно сопряженное преобразование Лоренца. Поэтому введем еще один спинор Т], который преобразуется по закону
т)'U = Jp Y1V
(41.56)
IU = I, 2; V = 1, 2; точки и прописные буквы, взятые из конца алфавита, используются, чтобы отличать те компоненты, которые преобразуются с помощью комплексно сопряженной (без транспонирования!) спиновой матрицы преобразования Лоренца].
§ 41.6. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ
II СПИНОРАМИ
Вектор,
рассматриваемый как эрмитовый спинор
второго ранга
Чтобы совершить обратный переход от спиноров к векторам, заметим, что спиновая матрица X в (41.55) имеет следующую форму:
X = t + (ж ¦ а)
Ut + Z) (x — iy) I (х -f iy) (t — z)
Xil Xі'2
X21 Х22
(41.57)
§ 41.6. Соответствие между векторами и спинорами 409
где индексы взяты с точками или без точек в зависимости от того,
связаны они в (41.55) с L* или с L. Формула преобразования принимает следующий вид:
X'= LABL^\XB'V (41.58)
(транспонирование достигается автоматически путем упорядочивания индексов, поэтому здесь фигурирует а не L*^).
Коэффициенты этого преобразования тождественны с коэффициентами в законе преобразования «спинора второго ранга, один индекс которого без точки, а другой — с точкой»:
1'л^'Ъ = LabLu ЛВці. (4І.59)
В этом смысле можно говорить, что «4-вектор преобразуется как спинор второго ранга». Чтобы получить связь 4-вектора и спинора в явном виде, выпишем из (41.57) следующие соотношения:
X12 = X1 — іх2, X2*1 =T X1 jT ІХг,
(41.60)
В более компактной форме имеем
XAv — [fCTo _j_ (ac.o)]Atr _ xv(41.61)
где o0 — единичная матрица. Это уравнение сразу же указывает способ перехода от компонент 4-вектора пли «тензора с одним индексом» к компонентам соответствующего «1,1-спинора» (один индекс без точки п один с точкой).
С каждым действительным 4-вектором х* связан 1,1-спинор, который обладает свойством эрмитоеости в том смысле, что
Xau = Xva. (41.62)
Пример эрмитового 1,1-спинора дается выражением (41.61). Понятие эрмитовости можно сформулировать иначе и в более общем виде. С произвольным Л\А-сштором Ф, компоненты которого
ф-Aj ... AjvUi ... Un^ связан комплексно сопряженный спинор Ф, так что
(ф)Л1- ¦ -Vvu1- -Vs = (ф^1- • -VnAv . .Ay^ (41 63)
Ar1Ar-CnnHOp называется эрмитовым, если он равен комплексно сопряженному спинору.
2
N9 N-спинорьр и эрмнтовость
2
410 41. Спиноры
Алгебра
спиноров:
1) определение *ЛВ и eAB
2) поднимание и опускание спинорных индексов
3) скалярное произведение спиноров
4) отображение ¦между векторами « 1 ,!^спинорами
5) определение и*1 и ее связь « O1I
§ 41.7. АЛГЕБРА СПИНОРОВ
Из формулы (41.53) видно, что компонента спинора экспоненциально растет с бустом, так что она пропорциональна множителю е z, а другая компонента ? i экспоненциально падает с оустом. Если из двух спиноров I и 5 нужно построить величину, не зависящую от буста, то эту величину следует строить из таких произведений, как и I2^1. Этот рецепт с использованием произ-
ведений можно сформулировать иначе. Введем альтернирующие символы еАВ и еав, такие, что є12 = е12 =1 и
Eab = -Eba, Eab = -Eba; (41.64)
другими ненулевыми компонентами являются только Є21 = B21 = — 1. Определим спинор с нижним индексом через спинор с верхним индексом с помощью соотношения
Ia-IbSba (41.65)
и, обратно,
?В=ЄВС|С. (41.66)
Тогда скалярное произведение двух спиноров определяется как
IaIa- (41.67)
На величину этого скалярного произведения не влияют ни буст, ни вращение, ни какие-либо их комбинации
Га?'а = ZbBbaVa = (LbdId) Eba (LacIO) =
= (det L) IdEdcIc = Idc- (41.68)
При доказательстве используется тот факт, что выражение LbdEbaLac 1) обращается в нуль, если D=C, и 2) сводится к детерминанту L (единице!), если D = I, C = 2, или к детерминанту — L, если D = 2, С = 1. Заметим, что скалярное произведение равно взятому со знаком минус скалярному произведению |аСа. Скалярное произведение спинора самого на себя автоматически обращается в нуль («присущий спинору нулевой характер»).
Компоненты вектора с верхним индексом были выражены через компоненты 1,1-спинора с верхними индексами:
XAU — х\10^аЬ• (41.69)
аналогичное соотношение имеет место между вектором и 1,!-спинором с нижними индексами, так что
Z -=XllOi1 .. (41.70)