Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Оставим этот частный случай и зададимся вопросом, как получить
результирующее преобразование для двух произвольных преобразований Лоренца, каждое из которых является комбинацией
§ 41.4. Прецессия Томаса на языке алгебры спиноров
403
2
вращения и буста. Самый простой способ ответить на этот вопрос состоит в том, чтобы воспользоваться формулой (41.33) вместе с соотношением
/,(результирующее) = L2L1. (41.39)
§ 41.4. ПРЕЦЕССИЯ ТОМАСА НА ЯЗЫКЕ АЛГЕБРЫ СПИНОРОВ
Если вращающийся объект, на который не действуют никакие вращающие моменты, испытывает ускорение, то относительно инерциальной системы отсчета направление его вращения изменяется. Это и есть прецессия Томаса [см. упражнение 6.9 и первый член в формуле (40.336)]. Этой прецессией объясняется множитель 2 в эффективной энергии взаимодействия спина и орбитального момента электронов в атоме. В ядре вклад этой прецессии в спин-орбитальное взаимодействие нуклонов мал. Расчет прецессии Томаса дает иллюстрацию применения спин-матричных методов.
Эту прецессию можно рассматривать, совершенно не обращаясь к таким понятиям как момент импульса или движущаяся масса. Достаточно рассмотреть последовательность инерциальных систем отсчета S (t), обладающих следующими двумя особенностями: 1. В любой момент времени t положение движущейся массы совпадает с началом координат системы отсчета S (t). 2. Инер-циальная система S (t + dt) в следующий момент времени не испытала вращения по отношению к инерциальной системе S (t) с точки зрения наблюдателя в этой инерциальной системе. Однако по определению она испытала вращение («прецессию Томаса») с точки зрения лабораторной системы.
Как может «отсутствие вращения» проявляться как «вращение»? Ответ состоит в следующем. Один чистый буст, за которым следует другой чистый буст в другом направлении, не дает в результате третий чистый буст; вместо этого окончательный результат представляет собой буст плюс вращение. Сама по себе эта идея не нова. Фиг. 41.1 показывает, как в результате вращения вокруг оси z, за которым следует вращение вокруг оси х, получается вращение вокруг оси, обладающей не только х- и z-kom-понентами, но и также !/-компонентой. Что справедливо для вращений, то справедливо и для бустов: они не подчиняются закону сложения векторов.
Пусть система S0 совпадает с лабораторной системой и пусть начало лабораторной системы в момент времени t находится там же, где и начало движущейся системы. Пусть S (t) — лорен-цева система, движущаяся в момент времени t. Пусть один чистый буст увеличивает ее скорость относительно лабораторной системы от P до P + Результирующую конечную конфигурацию невоз-
26*
Происхождение прецессии Томаса: совокупность ABJTC бустов не есть чистый буст
Вывод
прецессии Томаса с использованием спиновых матриц
404 41, Спиноры
можно получить из S0 с помощью чистого буста. Вместо этого сначала повернем S0 относительно лабораторной системы («вращение R, связанное с прецессией Томаса»), а затем переведем ее с помощью чистого буста в конечную конфигурацию. Правильный результат получается лишь при одном выборе этого вращения. Таким образом, обозначая спиновые матрицы для чистых бустов и чистых вращений буквами В и R, мы имеем следующее соотношение:
В (Р + d0) R (to dt) = «В (dp)» В (P), (41.40)
из которого можно найти угловую скорость прецессии Томаса ю. Кавычки, в которые заключено выражение «В (dp)», несут двойное предостережение: 1) скорость преобразования (буста), которое переводит S (t) в S (t + dt), не есть (Р -f- ^P) — P = dfi [закон сложения (или вычитания) векторов не применим к скорости] и 2) «В (dP)» является чистым бустом лишь в сопутствующей системе и не является им в лабораторной системе.
Позаботимся сначала о преодолении второго затруднения. Это затруднение обусловлено тем, что формализм, развитый в § 41.1 для сложения преобразований R3 = R2Bi- предполагает, что все операции R1, R2, . . . определены и действуют в лабораторной системе. Напротив, под величиной «В (<ЗР)» подразумевается чистый буст, определяемый и действующий в сопутствующей системе. Его можно включить в формализм следующим образом. Занулим любую скорость, которую объект уже имеет. Другими словами, применим оператор В-1 (P). Тогда объект будет покоиться в лабораторной системе. Затем подействуем необходимым МаЛЫМ ЧИСТЫМ буСТОМ В (асопутств dr). ГДЄ «сопутств — ускорение, каким его чувствует сам объект, a dr — промежуток собственного времени по измерениям самого объекта. В начале этого кратковременного ускорения объект покоится относительно лабораторной системы. Поэтому то, что является чистым бустом в сопутствующей системе объекта, является чистым бустом и в лабораторной системе. Это также чистый буст и в спин-матричном формализме. Затем вновь перейдем от лабораторной к сопутствующей системе. Тогда получим соотношение
«В (dP)* = В (P) В (всопутств dr) В-1 (р). (41.41)
Уравнение для определения прецессии Томаса теперь принимает вид
В (P-MP) R (ю dt) = В (P) В («сопутств dr), (41.42)
