Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
2
394 41. Спиноры
Геометрическая
причина
появления
половинного
угла в операторах
вращения
Z
Z
ФИГ. 41.3.
Совокупность двух вращений, выраженная через отражения. Первое вращение (на 90° вокруг OZ в примере на фиг. 41.1) описывается с помощью отражения I1 за которым следует отражение 2 (в этом примере угол между двумя плоскостями отражения составляет 90°/2 = 45°). Второе вращение выглядит как результат отражений 3 и 4. Ho отражения 2 и 3 происходят от общей для них плоскости ZOX. Поэтому одно отражение аннулирует другое. Таким образом, последовательность четырех операций 1 2 3 4 сокращается до двух отражений 1 и 4. Они в свою очередь заменяются одним вращением вокруг осп OA.
Почему здесь появляются половинные углы? И что кроется за этим законом сложения вращений? Ответ на оба вопроса один и тот же: вращение на угол 0 вокруг данной оси можно рассматривать как результат двух последовательных отражений в двух плоскостях, пересекающихся вдоль этой оси под углом 0/2 друг к другу (фиг. 41.2). Таким образом, два вращения предполагают четыре отражения. Однако можно устроить так, чтобы отражения 2 и 3 совершались от одной и той же плоскости, в которой лежат
§ 41.1. Отражения, вращения и сложение вращений 395
2
ФИГ. 41.4.
Закон сложения вращений, изображенный с помощью сферического треугольника, каждый из интересующих нас углов которого равен половине соответствующего угла вращения.
обе оси вращения. Тогда отражение 3 в точности уничтожает отражение 2. После этого остаются лишь отражения 1 и 4, которые вместе взятые образуют одно вращение — искомое результирующее вращение (фиг. 41.3 и 41.4).
Вращение
R = cos (0 '2) — і sin (0/2) (ах cos а уничтожается обратным вращением R-1 = cos (0/2) + і sin (0/2) (ох cos a -f-
ау cos P + az cos у)
Oy cos P
R-1 = R-^1R-1
Алгебраические
свойства
операторов
вращения
Oz cos у).
(41.3')
Поэтому произведение двух операторов вращения
RR-1 = R-1R = 1 (41.5)
является единичным оператором, оставляющим без изменения все, на что бы он ни действовал. Соответствующий оператор R-1 для комбинации двух вращений R = R2Ri есть
(41.5')
(обратный порядок индексов!), в чем можно убедиться путем непосредственной подстановки в (41.5).
Сопряженная транспонированная матрица М* получается из матрицы М, если вместо каждого элемента матрицы взять комплексно сопряженную ему величину, а затем строки и столбцы поменять местами. Непосредственной проверкой матричных соот-
2
396 41. Спиноры
УПРАЖНЕНИЯ
ношений (41.1) можно установить, что — ах, Oy = ау, а* = = Oz. Такие матрицы называют эрмитовыми. Результат транспонирования произведения двух матриц M = PQ представляет собой произведение М* = Q*P* отдельных сопряженных транспонированных матриц, взятых в обратном порядке. Заметим, что для приведенных выше матриц вращения R* = R'1. Такие матрицы называют унитарными. Абсолютное значение детерминанта унитарной матрицы равно единице, как это можно видеть из следующего доказательства:
I = det (единичная матрица) = det (RR'1) =
= det (RR*) = det R det R* =
— I det R12. (41.6)
В действительности детерминант спиновой матрицы вращения с необходимостью равен единице («унимодулярная матрица»), как это будет показано в следующих ниже упражнениях.
41.1. Простейшие свойства матрицы вращения
Запишите формулу (41.3) в виде
R (0) = cos (0/2) — і sin (0/2) (а-п)
и установите следующие ее свойства:
а) (а-іг)2 = 1= единичная матрица;
б) Sp (а • п) — О (Sp — след, т. е. сумма диагональных элементов);
в) [В, (о*и.)] г= R (а-п) — (о-от.) R = 0;
коммутатор
r) S=--(41.7)
[Заметим, что если 0 рассматривать как угол, увеличивающийся с угловой скоростью со, так что dQ/dt — со = const, то это последнее уравнение читается как
§=-±,<о.»)Я, (41.7')
где (О = (OW..]
41.2. Детерминант матрицы вращения равен единице
Вспомните, что, согласно упражнению 5.5, для любой матрицы M мы имеем
d [In (det M)] = Sp (M-1 dM),
и воспользуйтесь этим, чтобы показать, что det R в (41.7) является константой и поэтому равен (det R)e=o = 1-
§ 41.2. Инфипитезималъпые вращения 397
2
§ 41.2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ВРАЩЕНИЯ
Заданное вращение можно получить, совершая последовательно два вращения на угол, равный половине заданного, или четыре вращения на угол, равный одной четвертой, или восемь вращений на угол в одну восьмую и т. д. Так в пределе мы приходим к понятию инфинитезимального вращения, описываемого спиновой матрицей
-R = I- (i/2) (с* dQ,jZ + ау dQzx + Oz dQxy),
или
R = I — {і d0/2) (ачг). (41.8)
Здесь величины
dQyz = —dQzy = nx dQ = cos a d0,'
dQzx = —dQxz = nv dQ = cos P d0, (41.9)
dQXy = —dQyx — nz dQ = cos Y c20
представляют собой компоненты инфинитезимальных вращений в трех плоскостях, указанных с помощью индексов. Инфините-зимальное вращение в плоскости (х, у) на угол dQxy преобразует вектор х = (х, у, z) в новый вектор с изменившимися компонентами х' и у', но с оставшейся неизменной компонентой Z1 = Z. В более общем случае пнфинитезнмальное вращение (41.8), рассматриваемое в том же «активном» смысле *). приводит к преобразованию
