Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Совокупность экспериментальных результатов (40.21), (40.46) и (40.48) налагает на любую теорию, обладающую универсальной системой покоя, следующие весьма грубые ограничения:
! «і I = І 7ді + A2 — 4-і? — 4 I Sg 0,2,
I се2 I = I A2 + С - I I < 0,03,
I Ct3 I = I 4рх - 2? - 2 - ? I ^ 2.10-»
(40.49)
Эти ограничения полностью опровергают все теории с выделенными системами отсчета, которые были изучены до настоящего времени, за исключением теории, разработанной Биллом и Норд-ведтом 1294, 337].
Согласно некоторым теориям гравитации, результат эксперимента Кавендиша зависит от химического состава и внутренней структуры пробных тел (упражнения 40.9 н 40.10). Крюцер [405] провел наиболее точные поиски подобных эффектов. Он нашел, что Gc одинакова для фтора и брома с точностью до
jC (бром) (фтор)
<5-10-
(40.50)
40.9. Постоянная Кавендиша для идеализированного Солнца
Представьте Солнце в виде статической сферы из идеальной жидкости, находящейся в начале ППН-координат. Тогда его внешлее гравитационное поле имеет вид (40.3) с .!/?, даваемой формулой (40.4). Следовательно, пробное тело массы т, расположенное вдали от Солнца на расстоянии г, ускоряется гравитационной силой
сила = —тМ^/г2. (40.51а)
а. Вычислите массу Солнца M в смысле количества энергии, требуемого для построения Солнца, путем добавления одной сферической оболочки вещества поверх другой, начиная такую про-
§ 40.8. Постоянна ли гравитационная постоянная? 381
цедуру от центра и продолжая ее наружу. [Ответ:
ДЭ ДЭ
M= j ро (1 + П + Зу?7) inr2 dr—j роUinr2 dr-
о
масса покоя+ внутренняя гравитационная энергия потенциальная
энергия
Дэ
= j р0[і+П+(37—2") U j 4яг2 dr. J (40.516)
о
б. Воспользуйтесь теоремой вириала [формула (39.216)], чтобы переписать формулу (40.4) в виде
Af3=J Po [ 1 + РзП + (2р2 -4- P4) С/ ] 4лг2 dr. (40.51в)
о]
в. Объедините приведенные выше уравнения с определением постоянной Кавендиша для г далеко за пределами Солнца
сила = — GcmMjr2, (40.51 г)
чтобы получить
/масса Солнца, определяемая по искривлению\ !^мировой линии удаленной пробной частицы j _ с / масса-энергия, определяемая путем применения \
I закона сохранения энергии к каждому из этапов I \ построения Солнца /
= I+' j (Ро/Мо) [(Pa—1) П+4-(4р2 + Р4-б7 + I) U j ^r2 dr. (40.52)
Постоянная Gc будет зависеть от внутренней структуры Солнца! И только в том случае, когда P3 = 1 и 4р2 + P4 — 6у + 1 = 0 (что, конечно, выполняется для ОТО), зависимость отсутствует. Конкретизируя формулу (40.52) применительно к «консервативным» теориям гравитации (дополнение 39.5), объясните, почему результат такой, каким его можно было бы ожидать, исходя из уравнения (40.43).
40.10. Постоянная Кавендиша для произвольного тела
Обобщите исследование, проведенное в упражнении 40.9, на источник с произвольным давлением, имеющий произвольную форму и произвольные внутренние скорости (подчиняющийся ограничениям постньютоновского приближения У2 1,
I t'jh |/Ро <С U 1, П 1). Предположите, что тело неподвижно относительно универсальной системы покоя. Покажите, что
УПРАЖНЕНИЯ
2
УПРАЖНЕНИЯ
В каком смысле ОТО предсказывает геодезическое движение Солнца и планет
Отклонение
от геодезического
движения:
382 40. Эксперименты в Солнечной системе
Gc не зависит от внутренней структуры источника, за исключением случая, когда
2pi-p4 = l. 4р2 + P4-6v = -1, Рз = 1,
? = О, T1 = 0. (40.53)
Конечно, все эти ограничения на ППН-параметры удовлетворяются в теории Эйнштейна.
§ 40.9. ДВИЖУТСЯ ЛИ ПЛАНЕТЫ И СОЛНЦЕ ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ?
Перед экспериментами в Солнечной системе стоит основной вопрос: движутся ли плапеты и Солнце по геодезическим пространства-времени? Этот вопрос осложняется тем обстоятельством. что сами движущиеся тела дают вклад в пространственно-временную кривизну.
Чтобы решить этот вопрос и получить на него ответ в рамках общей теории относительности, рассмотрим доказательство типа «эйнштейновского лифта». Рассматриваемый астрономический объект обладает внешней границей, и каждая точка на этой границе описывает в пространстве-времени мировую линию. Эти мировые линии определяют мировую трубку. На некотором расстоянии снаружи от этой мировой трубки построим «буферную зону», как в § 20.6. Внутренний и внешний размеры этой зоны выберем в соответствии с массой и моментами объекта, а также с кривизной окружающего пространства («напряженность приливной силы внешнего гравитационного ноля») таким образом, чтобы отклонение метрики е (ср. § 20.6) от плоской в буферной зоне принимало значения не больше удвоенного экстремально достижимого значения еЭКСТр (минимального по отношению к изменениям г, максимального по отношению к изменениям направления). Тогда с точностью до ошибок порядка е можно считать, что объект движется в асимптотически плоском пространстве. В этом случае применим закон сохранения 4-импульса и, следовательно, объект движется (локально) по прямой линии с постоянной скоростью. Рассмотрим затем «фоновую геометрию», согласующуюся сразу же за пределами буферной зоны с фактической геометрией с точностью до еэкстр или лучше, но внутри нее представляющую собой решение эйнштейновских уравнений поля в случае отсутствия источников. Тогда с точностью, определяемой значением 8экстр5 локально прямая линия, вдоль которой движется астрономический объект, будет геодезической этой фоновой геометрии.
