Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 40.7. Увлечение инерциалъпых систем отсчета 371
В противоположность спішу базисные векторы е~ сопутствующей системы не испытывают переноса Ферми — Уолкера. Вместо этого они связаны с помощью обычного буста (без вращения!) с сеткой ППИ-коордпнат, которая привязана к инерцияльнои системе отсчета вдали от Солнечной системы, а последнюю мы считаем фиксированной относительно «удаленных звезд». Таким образом, вычисляя прецессию спина относительно сопутствующей системы координат
dSjIdx s ZnrQjlSr, (40.28)
мы фактически рассчитываем угловую скорость прецессии спина Qj относительно системы отсчета, фиксированной на небе удаленными звездами.
Вычислим dSridx'.
dS ~
= Vu (S • е ?) = (VuS) • е J + S • (VBe?) = S-VuB1. (40.29)
Здесь использован тот факт, что VuS имеет то же направление, что и U [уравнение (40.27)], и тем самым ортогонально ej. Величину S -Viiej легко вычислить в ППН-системе координат. При расчете мы пользуемся в качестве метрических коэффициентов [формулы (39.32)] выражениями
goo — — 1 + 2С/-f- О (є4), gjh = Sjk (I -\- 2у0) -f- О (є4),
7 і /«члены, обусловленные^
go}=—2" —^A2W./-г I наличием предпочти- 1+ (40.30)
\тельной системы» /
+ О (г*);
в качестве компонент ej и S мы принимаем выражения [полученные с помощью преобразования (39.41)]
е] =Vj + 0(e3), 4 = (\ —yU)b}h +^vhV} +O(Ek)1
S0 = VjS^ + О (E3Sj), (40.31)
Sh = (1- yU) S%-\-YVhVjS j +O(SiSj); кроме того, мы пользуемся соотношением
db'j/dr = Uj + U,j + O (E2Ulj), (40.32)
где Oj (принимаются U,j) — компоненты 4-ускорения. Для прецессии спина мы получаем (см. упражнение 40.6) следующий результат:
dSj/dT=S-\Lej = Sk + —(2Y+ I)vuUth}\.
24*
2
372 40. Эксперименты в Солнечной системе
2) общая ППН-формула для прецессии
3) прецессия Томаса
4) прецессии, обусл о вленн ы е ускорением и ньютоновским потенциалом Земли
В трехмерной векторной форме этот результат принимает вид
dS Idx = QxS, (40.33а)
Q = —jvxci—j V X д+ (7 + -у) v х VU, (40.336)
д = Soi^J- (40.33в)
Для этого окончательного ответа не имеет значения, вычисляли ли мы 3-векторы, входящие в Я, в ППН-системе координат или в сопутствующей ортонормированиой системе отсчета, поскольку е у и dldxj отличаются лишь на поправки порядка є2.
Уравнения (40.33) дают вполне общее для постнъютоновского уровня аппроксимации описание прецессии спина гироскопа S относительно сопутствующей ортонормированной системы, которая не испытывает вращения по отношению к удаленным звездам. Для электрона со спином S, вращающегося вокруг протона,
присутствует лишь первый член —jv X а (нет гравитации).
Этот член приводит к прецессии Томаса, играющей важную роль
в тонкой структуре атомных спектров (см., например, [384]).
Другие способы вывода прецессии Томаса см. в упражнении 6.9 и в § 41.4.
Прецессия Томаса вступает в игру для гироскопа на поверхности Земли (а равно ньютоновскому гравитационному ускорению), но не для гироскопа на свободно движущемся спутнике.
Если не учитывать вращение Земли и эффекты, связанные с предпочтительной системой отсчета, и если поместить ППН-си-стему координат в состоянии покоя относительно центра Земли, т0 SoJ обращается в нуль и Q дается выражением
Si = VX [ —j а + (? +4") VC/] =
= yv X VU для гироскопа на поверхности Земли (40.34) = (y+T)v X VU для гироскопа на орбите.
Обще релятивистский член ^y + -|") обусловлен движе-
нием гироскопа в искривленной статической пространственно-временной геометрии Земли. Отметим, что он зависит только от одного параметра у, который уже проверялся в экспериментах с электромагнитными волнами. Для гироскопа на полярной орбите вблизи Земли по порядку величины
(If-) «8-за год. (40.35)
з
Общерелятивистская прецессия у v X VU была выведена де Ситтером [383] для «гироскопа Земля — Луна», вращающегося вокруг
§ 40.7. Увлечение инерциальных систем отсчета 373
2
Солнца. Одиннадцать лет спустя Томас [385] вывел прецессию
1
— 2-VXa в специальной теории относительности применительно
к атомной физике.
Вращение Земли создает недиагональные члены g0j в ППН-мет-рике (упражнение 40.7):
O = S 0^7 = -(-4-^1 + -4-^2) ^3— • (40.36)
Здесь J — момент импульса Земли. Эти неднагональные члены дают вклад в прецессию гироскопа
Q= -I-V X д = (-J A1^A2) + (40.37)
Отметим, что этот вклад в отличие от других не зависит от линейной скорости гироскопа. Мы можем представить себе это следующим образом.
Гироскоп не вращается относительно инерциальных систем, находящихся в его окрестности. Гироскоп и локально инерциальные системы отсчета вращаются относительно далеких галактик с угловой скоростью Q, поскольку вращение Земли «увлекает» за собой локально инерциальные системы отсчета. Отметим, что вблизи Северного и Южного полюсов локально инерциальные системы отсчета вращаются в том же направлении, что и Земля (Q параллельно Jr), но вблизи экватора они вращаются в противоположном направлении (Q антипараллельно J\ сравните Q с магнитным полем Земли). Хотя на первый взгляд это может показаться парадоксальным, аналогия, развитая Шиффом, делает это обстоятельство более понятным х). Рассмотрим вращающуюся, твердую сферу, погруженную в вязкую жидкость. По мере своего вращения сфера будет увлекать за собой жидкость. В разных точках внутри жидкости поместим маленькие палочки и будем наблюдать, как жидкость, протекая мимо палочек, вращает их. Ясно, что вблизи полюсов жидкость будет вращать палочки в том же направлении, в каком вращается сфера. Ho вблизи экватора, поскольку жидкость увлекается на меньшем радиусе быстрее, чем на большем, ближайший к сфере конец палочки увлекается жидкостью быстрее, чем ее дальний конец. Следовательно, палочка вращается в направлении, противоположном вращению сферы.
