Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
AU ^ AU 4
Здесь «присоединенные базисные спиновые матрицы» имеют компоненты
(JH . = TiHvCVb^ е вае- . (41.71)
AU 1 V ВА VUi 4
§ 41.7. Алгебра спиноров 411
2
или в явном виде
(Г1* . Otl .
11 12
(Tw . Ov- •
21 22
+
0
1 1
о — і о
О
-1
при
при
при а
при
И- = О,
ц=-1, 2, (х = 3.
(41.72)
Для этих матриц справедливы законы умножения того же типа ((Tx)2 = (Oy)2 — (сґ)2 = I, OxOy = —OyOx = ioz и т. д., что и для матриц ох, о у, O2 из (41.2). Между «базисными спиновыми матрицами» (Tj1 и «присоединенными базисными спиновыми матрицами» о^ получаем следующие соотношения ортогональности и нормировки:
AU
O^
BV
-auOv
AU
= -28І8Ч
—26v. ц
(41.73)
(41.74)
Этими соотношениями можно воспользоваться для «перехода от величины, представленной в виде 1,1-спинора («спинорный эквивалент вектора»), к той же величине, выраженной непосредственно в виде вектора (тензора первого ранга)». Так, умножив обе части равенства (41.61) на —1I2Ov • и произведя суммирование
по спинорным индексам, воспользуемся (41.74) для нахождения контравариантных компонент вектора
1
-X-Ov .X 2 AU
-AU
(41.75)
Аналогично из (41.70) и (41.73) находим ковариантные компоненты
Xv=-±-OvAUX ..
2 AU
(41.76)
Тензор TcN индексами можно выразить на языке спиноров («спинорный эквивалент тензора») путем обобщения соотношений (41.61) или (41.70); так, для смешанного тензора третьего порядка имеем
BVCW
AU
— Oa . (Tr AU 1
Bv c\vT gv Ov J- а
и обратное соотношение
Pv. I 1
Al’ В
CT' .а • T ах; BV CVV °
BVCW
(41.77)
(41.78)
6) отображение между тензорами ранга N
и N4 iV-спинорами
2
412 41. Спиноры
В дополнении 41.1 дается сппнорное представление некоторых простых тензоров.
Иногда прп изложении спинорного анализа множитель (—M2)N в уравнениях, подобных (41.78), исключается следующей двойной процедурой: 1) в матрицы (Ttl и включается множитель 1/]^2, который мы не включали, и 2) вместо обычной метрики diag t]mv = = (—1, I, I, 1) используется метрика (I, —1, —1, —1). В этой книге мы такой процедуры не придерживаемся, поскольку 1) включение множителя Ilyr2 в матрицы ох, оу, Oz приводит к тому, что эти матрицы перестают совпадать с матрицами Паули, которые уже в течение многих лет используются всюду в атомной и ядер-ной физике, и 2) положительно определенная метрика на пространственноподобной гиперповерхности обладает преимуществом естественности при исследовании проблемы начальных значений в геометродинамике и при определении понятия 3-геометрии. Эти преимущества оплачены здесь ценой множителя (—1/2)^. При сложных вычислениях с применением спиноров предпочтительнее исключить множитель (—1/2)JV, см., например, [411] или [180].
Дополнение 41.1. СПИНОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРОСТЫХ ТЕНЗОРОВ В КОНТЕКСТЕ ЛОКАЛЬНО ЛОРЕНЦЕВОЙ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
Величина Тензорный язык Сшшорный язык
4-вектор общею вида ха (4 комплексных числа) Xau (4 комплексных числа)
Действительный 4-вектор] (например, 4-импульс) ха = Xj (4 действительных числа) Xau =(XUA) (2 действительные компоненты, 1 особая комплексная компонента)
Нулевой 4-вектор т)арЛр = 0 det Xau = O [см. (41.57)]: следовательно, существуют два спинора и , такие, что Xal =
Действительный нулевой 4-вектор, направленный в будущее (такой, как 4-импульс фотона) Xa = Xa ца^хах^ = 0 X0 > 0 Существует спинор %А (2 комплексных числа, единственных >-точностью до умножения на общий фазовый множитель е‘6), такой, что Хли = |‘4 (|) V
Действительный нулевой 4-вектор, направленный в прошлое х° < 0 xA'u = -iA(lf
§ 41.7. Алгебра спиноров 413
Продолжение
Тензорный язык Спинорный язык
Действительный о ШИ' ктор F (подразумевается, что Существует симметричный синили 2-форма (например, Fa^=—^pa! шесть различных hoP Фав (3 различные комп-
максвелловское поле) действительных компонент) лексные компоненты 011, 012,
Ф22), такой, что F • • =
’ AU BV
~ ^ABeUV^eAB (ф) yv
Действительная 2-форма, *Faji= Ea^Fv6 *Fau BV= ~іфAbeUVjT
дуальная предыдущей _
2-форме * -НеАВ(ф)^ (дуальность 2-формы соответствует уможению СПІІ-
нора фАВ на —г)
Действительный тензор чет- Cafiyt) — ^([ар] [уб]) (антисим- Существует полностью етшет-вертого порядка, обладаю- метрнчный по первым двум ричный спинор г^abcd с пятью щий симметриями тензора индексам, антисимметричный различными комплексными ком-конформной кривизны Вей- HO последним двум индексам, чонентами ^1Hl, 11)1112. ^1122, Чі222, ля, т. е. симметриями тен- симметричный относительно ^2222, такой, что С =
зора кривизны Римана при перемены местами первой па- AUm - DX
дополнительном требовании рЬ1 ИНдексов со второй парой), '- 4'авС D ^- -Де ,Г - j- ~ ~ елв(с:'^г\-\\~х обращения в нуль тензора „а г, <-
Риччи («пустое простран- [ Pv6] ( алгебраически
ство)>, «тензор Римана для различных компонент, так же
вакуума») как и ДДЯ тензора Римана, сво-
дятся к 10, если наложить дополнительное условие ва-
____________________________кУУма CaPg8 = 0_________________________________________________
