Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
х = -|ВА1с‘||. (41.106)
Здесь достаточно упомянуть лишь принцип, не входя в детали,
перемены знака перед а в (41.104). В дальнейшем, чтобы сохра-
нить предыдущую арифметику, несколько изменим постановку проблемы. Будем иметь дело не с приходящими, а с выходящими фотонами. Заменим телескоп, принимающий свет, прожектором в планетарии. Он проектирует в пространство отдельный луч света для каждой звезды в Большой Медведице, а также один луч для самой Полярной звезды. Пусть наблюдатель движется в положительном направлении z с параметром скорости а. В его системе отсчета лучи действительно будут расширяться в полном согласии с (41.103).
«Этот процесс увеличения изменяет размер Большой Медведицы, но не ее форму». Это утверждение одновременно и правильно, и неправильно. Оно справедливо для Большой Медведицы и для любого другого созвездия, угловые размеры которого можно считать малыми по сравнению с полной угловой протяженностью неба. Ho оно ошибочно в том смысле, что любое хорошо очерченное при проекции созвездие, каким бы малым ни казалось оно покоящемуся относительно Земли наблюдателю, всегда может так «раскрыться» перед наблюдателем, достигнувшим достаточно боль-
Преобразования Лоренца не меняют углы на небе («конформная инвариантность» t
422 41. Спиноры
Юдейств
ФИГ. 41.8.
Представление направления в пространстве (одна из звезд Большой Медведицы рассматривается как точка на небесной сфере) точкой на комплексной плоскости ? (? — отношение компонент спинора I2/!1), осуществляемое с помощью стереографической проекции из Северного полюса.
шой скорости что, хотя наблюдатель еще находится недалеко от Земли, это созвездие будет охватывать большую часть неба.
То обстоятельство, что «увеличение, обусловленное преобразованием Лоренца», в случае малого объекта не меняет его формы, можно пояснить тремя способами. 1) Известно, что как стереографическая проекция (фиг. 41.8), так и «дробно-линейное преобразование» (41.102) оставляют все углы неизменными («конформная инвариантность», см., например, [931]) и даже окружность переводят снова в окружность. 2) Рассмотрим данную звезду M в созвездии и ее ближайших соседей L и JV из числа членов созвездия, которые лежат непосредственно над и под звездой. Рассмотрим флагшток, направленный на М, и флаг, направленный сначала от M к L, а затем от M к N. Флаг повернут относительно флагштока на угол г|). Следовательно, два соответствующих спинора отличаются друг от друга на фазовый множитель е^'г. Ничем другим они не различаются. После произвольного преобразования Лоренца они по-прежнему отличаются лишь на фазовый множитель e*W2. Поэтому после преобразования Лоренца угол между дугами ML и MN на небесной сфере имеет свое первоначальное значение я|) (опять конформная инвариантность картин на небесной сфере!). 3) Еще более элементарное вычисление показывает, что длины бесконечно малых дуг на небесной сфере единичного радиуса в направлении роста 0 и в направлении роста ф увеличиваются в одной и той же пропорции, так что угол между ними остается
§ 41.11. Спиноры как мощный аппарат в теории гравитации 423
2
неизменным (конформная инвариантность). Рассмотрим фотон, испущенный проектором в планетарии по направлению к некоторой точке на небесной сфере (аналог звезды из Большой Медведицы) с наклонением 0 к оси z, с точки зрения наблюдателя, покоящегося относительно Земли. Из обычных законов изменения углов при преобразовании Лоренца («аберрация», дополнение 2.4) для синуса преобразованного угла имеем
sin ©нов = fjT/eole-sin 6 (41.107)
и (дифференцируя выражение для синуса преобразованного угла)
IJ2
"-=??4 <4i-io8>
Из этих выражений сразу же следует, что наклонение относительно линии меридиана на небесной сфере после преобразования совпадает с направлением относительно той же меридианальной линии на первоначальной небесной сфере:
tg(
НОВОе \ _sin Qhqb ^Фнов _sip Q d<p
наклонение} <$нов <20
_t I первоначальное \ 10д\
I наклонение /
{снова конформная инвариантность!).
На этом мы закончим рассмотрение элементарного спинора и его связи с нулевым вектором, с «флагштоком», направленным на небесную сферу, и с вращением «флага» вокруг такого «флагштока».
§ і 1.11. СПИНОРЫ КАК МОЩНЫЙ АППАРАТ В ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Спиноры, точно так же как векторы, тензоры и дифференциальные формы, легко обобщаются от случая плоского пространства-времени на случай искривленного.
Каждое событие 3і в искривленном пространстве-времени наделено касательным пространством. В этом касательном пространстве существуют и действуют все векторы, тензоры и формы, локализованные в SP. Геометрия касательного пространства является лоренцевой («локально лоренцева геометрия в событии Т5»), поскольку скалярное произведение любых двух векторов U II V в U5, выраженное в ортогональной системе в U5, есть
u-v = g(u, Vj=IisfuSl;?.
Таким образом, математически касательное пространство в 3і, с одной стороны, и плоское пространство-время — с другой ни-
Спинорыый формализм в искривленном пространстве-времени
