Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
2
424 41, Спиноры
Спиноры
необходимы
для исоледования
фермионов
в гравитационных
полях
Эквивалентность спинорного и тензорного формализмов
Применение
спинорного
формализма
в классической
теории
гравитации
чем не различаются. Что можно сделать в математическом плане в одном из них, то можно сделать и в другом. В частности, весь формализм спиноров, разработанный первоначально в плоском пространстве-времени, может быть без изменения перенесен в касательное пространство, связанное с произвольным событием Sb в искривленном пространстве-времени.
Допустим, это уже сделано. Теперь спиноры существуют в каждом событии в искривленном пространстве-времени, и в каждом событии можно переходить с языка спиноров на язык тензоров и обратно, пользуясь уравнениями (справедливыми в ортонорми-рованных системах), которые приведены в § 41.6 и 41.7.
Спиноры в искривленном пространстве-времени являются незаменимым математическим аппаратом, если мы желаем изучать влияние гравитации на квантованные частицы с пслуцелым спинором (нейтрино, электроны, протоны...). Возьмем в качестве примера доказательство Хартля [85] того факта, что черная дыра не может действовать на внешнее вещество какими-либо дальнодей-ствующими силами слабого взаимодействия (т. е. что у черной дыры нет «волос слабого взаимодействия»). Это доказательство было бы невозможно без спинорного описания нейтринных полей в искривленном пространстве-времени. Аналогично обстоит дело с проведенным Уилером [413] исследованием квазисвязанных состояний электронов в гравитационном поле малой черной дыры (гравитационный радиус ~10~13 см); для этого исследования требуется решить уравнение Дирака для частиц со спином 1/2 в искривленной шварцшильдовской геометрии пространства-времени. Детальное обсуждение уравнения Дирака в искривленном пространстве-времени см., например, в работе [414].
Чтобы воспользоваться математикой спиноров, не обязательно иметь дело с квантовой теорией или с частицами с полуцелым спином. Спинорный формализм прекрасно применим и в тех ситуациях, когда рассматриваются лишь объекты с целочисленным спином (скаляры, векторы, тензоры) и когда фактически спинорный формализм полностью эквивалентен тензорному формализму, использовавшемуся в предшествующих главах этой книги. Как только в каждом событии пространства-времени выбрана орто-нормированная система, уравнения (41.77) и (41.78) обеспечивают перевод с языка одного формализма на язык другого.
Проблемы !некоторых типов в теории гравитации поддаются более глубокой трактовке на языке спиноров, нежели на тензорном языке. Ниже приводятся примеры.
1. Геометрическая оптика (теория «нулевых конгруэнций геодезических» )
Здесь благодаря спинорам громоздкая тензорная алгебра, необходимая при выводе «теоремы о фокусировке» (22.37), становится почти тривиальной; спиноры дают изящный и простой формализм
§ 41.11. Спиноры как мощный аппарат в теории гравитации 425
для рассмотрения и расчета того, как с увеличением аффинного параметра меняется размер пучка лучей («расширение»), его форма («сдвиг») и ориентация («вращение»). Обзор и ссылки на оригинальные работы см., например, в [25, 180, 411].
2. Теория излучения в искривленном пространстве-времени (как гравитационного, так и электромагнитного)
Спиноры обеспечивают самый мощный формализм для разложения полей излучения по сферическим гармоникам и для манипуляций с их компонентами в разложении. Cm., например, исследование Прайса [71, 78] о том, как возмущенная шварцшильдовская черная дыра излучает наружу все те возмущения, которые она может излучить, будь то электромагнитные возмущения, гравитационные или возмущения воображаемого поля со спином 17; см. также исследование Факерелла и Ипсера [415], а также Ипсера [141] электромагнитных возмущений керровской черной дыры и исследование Теукольского [171] гравитационных возмущений керровской дыры. Спиноры дают также изящный и мощный метод 1/г-разло-жения поля излучения, испущенного источником в асимптотически плоском пространстве. К этим результатам отнссится и «теорема расщепления», которая описывает алгебраические свойства коэффициентов в разложении тензора Римана по степеням 1 Ir. Обзор и ссылки на оригинальные работы см., например, в работе [25] или [411].
3. Алгебраические свойства тензоров кривизны
Спинорный формализм является наиболее мощным методом, предназначенным для вывода «алгебраической классификации Петрова — Пирани конформных тензоров кривизны» и для доказательства теорем сб алгебраических свойствах тензоров кривизны. Обзоры и ссылки см., например, в работах [25, 180, 411].
Конечно, как и любой другой формализм, спинорный формализм имеет свои ограничения. Например, многие элементарные проблемы гравитационной теории и значительная часть наиболее трудных проблем выглядели бы более трудными на языке спиноров, чем на тензорном языке. Ho для определенных классов проблем, особенно тех, где центральную роль играют нулевые векторы, спиноры являются самым плодотворным аппаратом.
