Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
есть мера того, как компоненты T в лоренцевой системе меняются ОТ ТОЧКИ К точке. Ho «отсутствие изменения лоренцевых KOMHOi пент» означало бы «параллельный перенос»; значит, мы неявным образом отыскивали изменение T по отношению к тому, во что T перешел бы в результате чисто параллельного переноса.
§ 8.5. Параллельный перенос, ковариантная производная 261
ФИГ 8.2.
Определение ковариантной производной VuV векторного поля v вдоль кривой 3й (X), касательным вектором к которой является u е d 3а IdX'. 1. Выбираем на кривой точку ZP (0), в которой нужно найти VuV. 2. Выбираем близлежащую точку кривой &>(е). 3. Перемещая v (е)] параллельным переносом вдоль кривой обратно в &> (0), получаем вектор Уц [3й (е)]. 4. Находим разность б у = у., [^>(е)] — у [3й (0)]. 5. Тогда V„у определяется как
V„y= Iim — = Iim I
в—>О ® в—>О I
Vи 1& (е)] — у [.f' (0)]
}•
Чтобы перевести такое понятие дифференцирования на абстрактный язык, поступим следующим образом. Сначала определим ковариантную производную Vu T тензора T вдоль кривой Si (X), касательный вектор которой равен u = OSiIdX:
, T [& (е)] „ а>/т -T (0)] ^
/гг і*__ Г перенесенный параллельно в cr(<J) 1 1
(V-T)b ^>0=Ь“ (------------------------і----------------------) •
(8.16)
(Частный случай, когда T есть векторное поле V, см. на фиг. 8.2.) Затем положим по определению, что VT представляет собой линейную машину, которая при введении и в ее последний канал дает VuT:
VT(...........U)SV,T. (8.17)
В результате имеем тот же объект («градиент»), который был определен в § 3.5 (доказательство см. в упражнении 8.8). Ho это альтернативное определение поясняет связь с параллельным переносом, используя тот факт, что
VuT = 0 <=> T испытывает параллельный перенос вдоль u = daP/dX.
(8.18)
В локально лоренцевой системе компоненты VT представляют собой производные по направлению от компонент T: Tfia, у. В случае общего базиса это не так. Если {вр(е?*)}—базис, произволь-
Определеиис
ковариантной
производной
Определение
градиента
I
262 Дифференциальная геометрия: об,щий обзор
Определение
коэффициентов
связности
Компоненты градиента в произвольной системе
пым, по гладким образом меняющийся от точки к точке, а {©“ (Ф)} —дуальный к нему базис, то наряду с ^Tpa = ATpa = = Tpa ,,(Ov в VT = V (^paOp ® о)“) войдет вклад от Vep и V©“.
11тобы оценить вклад от Ve8 и V©“, т. е. чтобы количественно описать вращение, кручение, растяжение и сжатие базисных векторов и 1-форм, вводятся коэффициенты связности
r“pv = (®а> VvOp) =
_ /а-компонента изменения ер при параллельном^ .
—^переносе вдоль ev )
(обратите внимание на перестановку P и у, смещающую индекс дифференцирования на последнее место в Г); можно доказать также (упражнение 8.12), что
(Vv©“, ep)=-r“pv. (8.196)
С помощью этих коэффициентов и
Tpа,у = VvTpa = двуа ^ OvT^a (8.20)
компоненты градиента, обозначаемые Tpaiy, представляются в виде Tp а; V = rVv+rV1.- TtlavTlpll (8.21)
(см. упражнение 8.13). Если бы базис в событии, где вычисляется VT, представлял собой локально лоренцеву систему, компоненты VT были бы равны Tpа>у. Поскольку это не так, такое
«значение для лоренцевой системы» должно быть скорректировано на кручение, вращение, растяжение и сжатие базисных векторов и 1-форм. Члены вида TT в соотношении (8.21) и есть необходимые поправки — по одному на каждый индекс Т. Вид этих поправочных членов легко запомнить: 1) поправочный член для верхнего индекса берется со знаком «+», а для нижнего — со знаком «—»;
2) индекс дифференцирования (v в рассмотренном выше случае) всегда стоит на последнем месте у Г; 3) индекс, для которого выписывается поправка ({J у первого члена, a — у второго), переходит от Г к Г, а на его месте у T появляется немой индекс суммирования (ц).
Зная компоненты градиента (8.21), компоненты ковариантной производной VuT мо,кно найти простой сверткой с и” [см. выражение (8.17)1:
(V„T =(l*e;vuv)ea®
(8.22)
§ 8.5. Параллельный перенос, ковариантная производная 263
1
Когда и есть касательный вектор к кривой Ai(K), u = doP/dX, для компонент TuT используется обозначение DT^aIdX:
(если базис является координатным базисом, то иу = dxy/dX)
1
DT о ___ TTp ,,v 7*Р dxy ___
—*Г = І a'yU -1 a’ylx~
= (TlpCe1 V + поправки вида TI) dxy/dX =
= T + - ГЦ«Л) TBT • (8.23)
Точка с запятой в T^a; у напоминает про поправочные члены вида Г7\ добавляемые к T^a, у! аналогично символ D в DTaIdX напоминает про поправочные члены вида Г7\ добавляемые к dT^JdX.
Все это очень хорошо, но как для данного базиса найти коэффициенты связности r“pv? Ответ, вывод которого дан в упражнении 8.15., состоит в следующем: 1) берем метрические коэффициенты в данном базисе; 2) находим производные от них по базисным направлениям
?Ртм* = 5и?Ру = dgfiy/дх»; (8.24а)
T__і-a t_____[если используется координатный
*1* [базис B11 = дФ/дх*
3) находим коммутационные коэффициенты базиса [в общем случае согласно уравнениям (8.14); в частном случае координатного базиса C^pv = 0]; 4) находим «ковариантные коэффициенты связности»
