Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
dv6’ dv¦'
dt dt
коэффициенты поворота описывают поворот параллелей и меридианов по отношению к параллельно переносимому базису:
V ,Єє = в7ПГт,0пі;п, V увф = 8щ1 тлг>уп.
В обоих случаях рассматриваются одни и те же коэффициенты поворота. Разница лишь в том, как они используются.
I
266 в. Дифференциальная геометрия: общий обзор
УПРАЖНЕНИЯ
He столь важными, хотя и полезными, будут для него упражнения 8.8—8.15, в которых формализм ковариантных производных и коэффициентов связности развивается гораздо систематичнеє. Наиболее важные результаты этих упражнений кратко сформулированы в дополнении 8.6 (стр. 278).
8.4. Выписывание компонент градиента
Запишите следующие величины через обычные производные (/tV = de^/= Vv/) и поправочные члены вида TT: а) Т.у, где T —
функция; б) Taiv, где T — вектор; в) Ta- v, где T — 1-форма; г) T pe8;v. [Ответ:
a) T1it = Tiv; б) Та;ч= Ta^+TallyT^, в) Г«;7 = Tctiv-I^evT,,;
ч гра е гра. є і T^x rpvi. е т-іц гых. є -р^ гра є . т-.є гра її , Г) І 06 \у = і P6.V+1 HY-* PS —1 Pvy Цб —1 ЬУ1 PU + A Рб •]
8.5. Лист бумаги в полярных координатах
Двумерная метрика на плоском листе бумаги в полярных координатах (г, ф) имеет вид: ds2 = dr2 + r2 d<j>2, или в современных обозначениях g = dr ® dr + r2 Іф ® d^.
а. Используя соотношения (8.24), найдите коэффициенты связности. [Ответ: Ггфф = —г, Гфгф = Г"%г = 1 /г; все остальные равны нулю.]
б. Запишите уравнение геодезических в координатах (г, ф). [Ответ: d*r/dk2 - г ЩМк)2 = 0, <Рф1<й* + (2Ir) (drldk) (dф/dk) = = О.]
в. Разрешите это уравнение геодезических относительно г (к) и ф (к) и покажите, что решение есть равномерно параметризованная прямая линия (х = г cos <р = ак + Ь, где а и Ь произвольны; у = г sin ф = jk + к, где j ті к произвольны).
г. Убедитесь, что некоординатный базис ер = ег = д%Р/дг,
Є~ = г-іЄф = г~ід0і/дф, Otr= dr, (і)* = гйф является ортонормиро-ванным и что (©“, е ^= 6“ ^. Затем, зная коэффициенты связности координатного базиса (пункт «а»), найдите коэффициенты связности данного базиса. [Ответ:
V-в= (гіф, Vrfr-1O*)) =
= г(йф, (Vrr_1)e* + r-1(Vre+)) =
= r(d^, — r-2eoH-(d^, Угвф) =
аналогично Г* — = +1/г, Гr — = — 1/г; все остальные равны нулю.]
§ 8.5. Параллельный перенос, ковариантная производная 267
1
д. Рассмотрите кешіеровскую орбиту, показанную на фиг. 8.1 и изучавшуюся в § 8.3, как негеодезическую кривую в двумсрпой эвклидовой экваториальной плоскости Солнца. Вместо старых обозначений dv/dt, de~/dt и т. п. используйте новые обозначения V», V,e; и т. п. Тогда V = d&*/dt — касательный вектор орбиты,
a a = V»V— ускорение. Выведите уравнения (8.4) для аТ и а* > оперируя компонентами и коэффициентами связности в ортонормированием базисе.
8.6. Сферические координаты в плоском пространстве-времени
Сферический некоординатный базис {в~}, введенный в упражнении 8.1, ортонормирован, g = '4*?* но его коммутационные коэффициенты не равны нулю [пункт «в» упражнения 8.2].
а. Используя соотношения (8.24), найдите коэффициенты связности в этом базисе. \Omeem:
Г8;8 = Г?;;=-Г'в8=-Г%? = 1/г,
Г*§;=-г§ ^ = ctge/r;
все остальные равны нулю.]
б. Запишите выражения для V^e g через е~ и проверьте правильность этих выражений, нарисовав расположение базисных векторов на сфере постоянных ( и г. [Ответ:
Vgв;=Г‘в8, Vgeg ---------г-‘вр, V;e? = r*eV
Vjeg = (ctg0/r)e^, V$e;= — r*e? —(ctg0/r)eg.
Все остальные равны нулю.]
в. Получите выражение для дивергенции вектора V-A = = Aa ? в этом базисе. [Ответ:
V-k = A,i, + г~г(JiAr) ~ + (sin 0)-1 (sin 0Л ®)tg+4* ^ =
^dAi ¦ I 0(гМ?) ¦ I a (sin 9Л8) .____1_ дА*
dt r2 dr "Ursine й0 +rsintt дф
Этот ответ должен быть знаком читателю из векторного анализа в плоском пространстве.
8.7. Симметрии коэффициентов связности
Исходя из соотношения (8.246), симметрии метрики и антисимметрии (cpw= -CvPlt) коммутационных коэффициентов, покажите, что ra[pv] = 0 (симметричны по последним двум индексам) в координатном базисе; Г( ^ = O (антисимметричны по первым двум индексам) в глобально ортонормированном базисе, g~ g = rjap.
УПРАЖНЕНИЯ
I
268 S. Дифференциальная геометрия: общий обзор
УПРАЖНЕНИЯ
Систематический вывод результатов § 8.5
8.8. Сравнение нового и старого определений VT
Новое определение VT дается соотношениями (8.16) и (8.17). Используя тот факт, что при параллельном переносе локально лоренцевы компоненты не меняются, из (8.16) получите соотношение VuT = T^a vuvep ® (о“, справедливое в лоренцевой системе. Отсюда и из соотношения (8.17) выведите, что компоненты VT в лоренцевой системе равны ГР , что находится в согласии со старым определением VT.
8.9. Дифференцирование произведения
а. Производя выкладки в локально лоренцевой системе, покажите, что для оператора «Vu» справедливо обычное правило дифференцирования произведения:
Vu (/A (S) В) = (Vu/) A <g> В + / (VuA) (8) В + /А ® (VuB). (8.27)
Здесь А и В — произвольные векторы, 1-формы или тензоры, а / — произвольная функция. [Указание: для определенности