Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
откуда делаем вывод, что gap> v = 2Г,ар)7. (Круглыми скобками обозначена симметричная часть.) 2. Выписываем члены с метрикой, входящие в ответ для ГцР.,:
I
~2 В—^Bv. м) = Г<м-В>у Г№Т)Р Г(Ру)й =
= KrMOv rBnv "Ь rVvB "Ь rvnP rBvi* ГїВм1 =
= rtiBv + (— Г HtBv] + Г BIiav] + rVlnBl) •
3. Из соотношения (8.31), взяв в качестве и и W базисные векторы u = eM, w = Bv1 получаем
CflvPOp = [бц, 6v] == VliAv Vvflll =
== (rpVU— Г*5hv) Ap = 2rP[V|i]ep>
т. е.
I 1
Tpllivl = 2 cIivpJ rp[,V]--------2 cIivp* (8.34)
4. Эти выражения в совокупности с выражениями, полученными на втором этапе, приводят к требуемой формуле для Tlipv.
§ 8.6. ЛОКАЛЬНО ЛОРЕНЦЕВЫ СИСТЕМЫ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ
Наблюдатель, находящийся в состоянии свободного падения в искривленном пространстве-времени, проводит измерения в своей локально лоренцевой системе. В частях I и II этой книги подробно описывается, что он при этом обнаруживает. Теперь мы попы-
1
УПРАЖНЕНИЯ
I
272 $* Дифференциальная геометрия: общий обзор
Локально
лоренцева
система
Начало
свободно падает вдоль
геодезической
Частицы
в СОСТОЯНИИ
свободного
падения
движутся
по прямым
линиям
таемся получить основные результаты его наблюдений с помощью формализма предыдущего параграфа.
Выберем событие Si0 на мировой линии наблюдателя. Его (локально лоренцевой системой в этом событии будет система координат Xа (3*), в которой
дФ дФ
?ар = в<х-ер= = %р в (8.35а)
(лоренцева метрика в Si0) и
Sga^dxf1 = O в (8.356)
(метрика, как можно более близкая к лоренцевой вблизи Si0) |см. соотношения (8.15)]. К тому же ввиду соотношений (8.24)
Tapv = O в Si0 (8.36)
(«поправочные члены» в ковариантных производных отсутствуют). Наблюдатель, конечно, должен покоиться в своей локально лоренцевой системе, т. е. его мировая линия должна иметь вид
Xj = Xі (Si0) = const; х° меняется. (8.37)
Вопрос. Соотношения (8.35) — (8.37) обеспечивают неподвижность наблюдателя по отношению к локально лоренцевой системе. Следует ли из них, что он находится в состоянии свободного падения? (Должно следовать!) Ответ. Найдем 4-ускорение наблюдателя а = duldx (в обозначениях гл. 6) = VuU (в обозначениях данной главы). Его 4-скорость, определяемая соотношениями (8.37), равна
u = (daP/dx) ea = (dx°/dx) е0 = е0; (8.38)
T
поскольку U И B0 ] I имеют единичную длину J-------
отсюда его 4-ускорение равно
а = VuU = VoB0 = Г“оова = Ob Si0. (8.39)
Таким образом, наблюдатель действительно находится в состоянии свободного падения (а — 0), он движется по геодезической (VuU = 0).
Вопрос. Действительно ли частицы в состоянии свободного падения движутся по прямым линиям ^2XaZdT2 = 0) в локально лоренцевой системе наблюдателя в Si0? (Они должны так двигаться!) Ответ. Частица в свободном падении не испытывает 4-ускорения:
3 частицы = V U4acra4blU4aCTiniH =
таким образом, она параллельно переносит свою скорость, т. е. движется по геодезической в пространстве-времени, аффинный параметр которой равен ее собственному времени. Уравнение
§ 8.7. Отклонение геодезических и тензор Римана 273
1
геодезических, записанное для ее мировой линии в локально лоренцевых координатах, имеет вид
ре dx* dxv п ^ CR
-зз-------rVTTTT-0 в ^0*
Мировая линия частицы в Ss0 действительно является прямой.
Вопрос. Переносит ли свободно падающий наблюдатель свои
пространственные базисные векторы Bj переносом Ферми — Уолкера, т. е. может ли он связать их с гироскопами, движущимися вместе с ним? (Он должен иметь такую возможность!) Ответ. Закон переноса Ферми — Уолкера (дополнение 6.2) имеет вид
= U (а-Bi)—a (u-Bi).
t t в старых в новых обозначениях обозначениях
Ho и = бої в0-в; = 0 и 4-ускорение наблюдателя а = 0; поэтому перенос Ферми — Уолкера в данном случае сводится к параллельному переносу вдоль е0> таким образом, V0e/ = 0. Векторы в] действительно именно так и переносятся через точку Si0, поскольку
Voej = r%ea = 0 в Si0.
§ 8.7. ОТКЛОНЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ И ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ РИМАНА
«Тяготение есть проявление кривизны пространства-времени, а о кривизне мы узнаем по отклонению одной геодезической от близлежащей другой геодезической (относительное ускорение пробных частиц)». Чтобы это утверждение стало точным, необходимо сначала количественно описать «отклонение», или «относительное ускорение» соседних геодезических.
Рассмотрим семейство геодезических (Я,, га), фиг. 8.4. Непрерывно изменяющийся параметр п («параметр отбора») позволяет отличать одну геодезическую от другой. При фиксированном п Si (X, га) есть геодезическая с аффинным параметром X и касательным вектором
и = д&/дк. (8.40)
Тогда Vuii=O (уравнение геодезических). Вектор
п зід&Ідп (8.41)
служит мерой разделения двух точек с одним и тем же значением А, на соседних геодезических.
Наблюдатель, свободно падающий вдоль «опорной геодезической» п = 0, следит за пробной частицей, свободно падающей вдоль
Бааионые
векторы
в начале
