Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
предположите, что А — тензор ранга , а В — вектор. Тогда
компонентная запись этого равенства в лоренцевой системе имеет вид
(М VV = (/,6UeM Vv+
+ f(A\6ut) Bv+ fAaр (SVe).] (8.27')
б. Перепишите соотношение (8.27) в компонентных обозначениях в произвольном базисе. [Ответ: по виду совпадает с (8.27'), в котором запятая в индексах везде заменена на точку с запятой. Примите во внимание, что /;в и6 = /,в и6, поскольку у функции / «нет компонент, которые нужно корректировать».]
8.10. Ковариантная производная коммутирует со сверткой
Пусть S — тензор ранга . С помощью компонент в локально лоренцевой системе покажите, что
Vu (свертка S по каналам 1 и 2) в
= (свертка VuS по каналам 1 н 2). (8.28)
[Указание: В локально лоренцевой системе это уравнение сводится к тривиальному соотношению
(S S a0),VuV = 2j (S a0,vuV)‘l
a a
§ 8.5. Параллельный перенос, ковариантная производная 269
I
8.11. Алгебраические свойства оператора V
С помощью выкладок в локально лоренцевой системе покажите, что
Vou+b»S = aVuS + 6V,S (8.29)
для любых касательных векторов u, ? и чисел а, b и
Vu (S + M) = VuS+VuM (8.30)
для любых тензорных полей ShM одинакового ранга; а также, что
VuW-VwU = [u, w]
\____[“коммутатор UHW рассмот-
[рен в упражнении 8.2
ДЛЯ ЛЮбыХ ВеКТОрНЫХ ПОЛеЙ UHW.
8.12. Коэффициенты связности для базиса 1-форм
Покажите, что те же коэффициенты связности r%v, которые описывают изменение {вр} от точки к точке [определение (8.19а)], описывают с точностью до перемены знака и изменение {<&“} [соотношение (8.196)]. {Ответ: 1. <©“, вр> = 6ар— постоянная
функция (1 или 0, в зависимости от того, равны между собой аир- или нет). 2. Тогда Vv <«>“, вр) = дву (<•>“» вр) = 0. 3. Ho <©“, вр) есть свертка ® ер, поэтому из соотношения (8.28) следует, что 0= Vv (свертка ©“ ® вр)=свертка [Vv (<•>“ ® вр)]. 4. Применяя правило дифференцирования произведения (8.27), приходим к выводу, что 0=свертка [(Vv<oa) <g> ер -f(oa ® (Vvep)] = (Vvo)a, ер> + -J-(<о“, Vvep>. 5. Наконец, воспользовавшись определением (8.19а), приходим к требуемому результату (8.196).}
8.13. Поправочные члены вида ГТ для
Выведите соотношение (8.21) для Т$а.у в произвольном базисо, вычислив сначала при произвольном U компоненты VuT, а затем с помощью соотношения (8.17), отыскав компоненты VT. \Omeem:
1. Используя правило дифференцирования произведения (8.27), чолучим
VuT = Vu (ГРавр ® (Oa) =
= (VuT7pa) ер О Wa+ т\ (Vuep) о (0а + Граер ® (Vu(Oa).
2. Распишем и через компоненты u = uvev; используя линейность Vu по и согласно (8.29), пишем Vu = uvVv и подставляем это
УПРАЖНВНИЯ
I
УПРАЖНЕНИЯ
270 S. Дифференциальная геометрия: общий обзор В VuT:
VuT = uv (Tpaivep ® ©“ + Tpa (VvBp) <8>(o“ + Tpaep .(g) (Vv(Oa)}.
3. Используя соотношения (8.19а, б), в форме
VTeP = Гцр7вц, Vv©“ = - T0V7Wt1, (8.32)
представляем VuT в виде
VuT = uv (Tpa,7еР <8> ©“ + Г^g7TpaBp, ® <о“-Tall7Tpaep ® ©>*}.
4. Переобозначаем немые индексы так, чтобы можно было вынести базисный тензор вр ®
VuT = uv (Tpa. 7 + Tpll7T11a - Т\УТ\] Єр®
5. Сравнивая с
V„T = VT (........., u) = (Tpa;yuv) ер <g> (о“,
выписываем значения Tpal7.]
8.14. Метрика ковариантно постоянна
Из физических соображений (используя свойства локально лоренцевых систем) покажите, что
Vg = O, (8.33)
или, что эквивалентно, Vug = 0 для любого вектора и. Затем в качестве математического следствия выведите правило дифференцирования произведения
V» (А-В) = (VuA)-В +A-(VuB).
[Ответ,: 1. Как было указано в тексте вслед за уравнением (8.18), в котором вместо T надо подставить д, компонентами Vg в локально лоренцевой системе ЯВЛЯЮТСЯ giiV. a* Ho все эти компоненты, согласно (8.156), равны нулю. Поэтому уравнение (8.33) справедливо в этой системе, а следовательно, поскольку оно является тензорным уравнением, и во всех системах. 2. Правило дифференцирования произведения тоже представляет собой тензорное соотношение, и в его справедливости немедленно убеждаемся с помощью компонент в локально лоренцевой системе. 3. Докажем также правило дифференцирования произведения более громоздким способом, чтобы выяснить, где используется уравнение (8.33). Воспользуемся правилом упражнения 8.9:
Vu (9 <8 А <8> В) = (Vu9) ® А ® B +
+ 9 ® (VuA) ® В + g ® А ® (VuB).
Опускаем, согласно (8.33), первое слагаемое и свертываем; в результате получаем
A-B = свертка (g ® А ® В)
§ 8.6. Локально лоренцет системы 271
и остальные внутренние произведения. Меняя в левой части последовательность применения свертки и Vu, мы воспользовались результатом упражнения 8.10.]
8.15. Коэффициенты связности, выраженные через метрику
Используя тот факт, что метрика ковариантно постоянна [уравнение (8.33)], выведите выражение (8.246) для коэффициентов связности. Считайте соотношение (8.24в) определением для Fltpv, выраженных через Tapv. [Ответ-. 1. Находим компоненты Vfl в произвольной системе:
?fap; Y=O = Saji, у Г^ау^нВ Г**Ру&іа Safi. у Fpav ГаР-у,
