Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 8.2. Сравнение курса 1 с курсом 2 247
I
легко воспринимает современный стиль, принятый математиками. Несколько более высокий уровень изложения принят в книге [133], доступной тем не менее для читателей, которые больше привыкли к дифференциальным уравнениям, чем к гомоморфизмам. Легко читается книга [134], но в ней перед читателем не ставится никаких проблем и изложение мало соответствует современному математическому стилю. Пособия [19, 32, 135] в некоторых отношениях подобны данной книге, но в них мало внимания уделяется чертежам; они тоже предназначены для студентов, изучающих теорию относительности. Книга [102] доступпа и полезна в качестве введения в теорию внешних дифференциальных форм и содержит много примеров приложения к широкому кругу проблем физики и техники.
§ 8.2. СРАВНЕНИЕ КУРСА I С КУРСОМ 2:
РАЗЛИЧНЫЙ КРУГОЗОР, РАЗЛИЧНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ
Наиболее замечательной особенностью связи, которая существует между эйнштейновской теорией тяготения и ньютоновской теорией, как показал Эли Картан [136, 137], является то обстоятельство, что обе эти теории можно описать с помощью понятия кривизны, что в обеих этих теориях кривизна определяется плотностью массы-энергии и что эту кривизну можно определить и измерить, совершенно не прибегая к понятию метрики. Различие же между двумя теориями проявляется в следующем: в эйнштейновской теории в конце концов (или с самого начала — в зависимости от того, как ее излагатьі) дается определение интервала между каждыми двумя близкими событиями; в ньютоновской теории этого не только не делается, но даже утверждается, что любая попытка рассмотрения пространственно-временных интервалов приводит к нарушению законов Ньютона. Ввиду этого обстоятельства в курсе 2 в течение некоторого времени (гл. 9—12) совершенно не используется метрика пространства-времени («интервал Эйнштейна»). В этой части курса исчерпываются все возможности описания кривизны пространства-времени, свободного от метрики (вся теория Ньютона, важные разделы теории Эйнштейна).
Отклонение геодезических позволяет дать определение и измерить кривизну, но при этом запрещается сводить векторное описание разделения событий к численному значению расстояния (на этом этапе изложения метрика отсутствует),— казалось бы, невероятная ситуация! Тем не менее это как раз та ситуация, рассмотрению которой посвящены гл. 9—12,— как изучать геометрию, не пользуясь метрикой. Выражаясь физическим языком, на данном этапе мы забудем, что геометрия физического мира всегда и везде локально лоренцева и наделена световым конусом, но зато в полной мере используем принцип эквивалентности Галилея — Эйнштейна: в любом месте можно найти систему отсчета, в которой каждая нейтральная пробная частица с произвольной скоростью не испытывает ускорения. Траектории таких нейтральных пробных частиц определяют геодезические данной геометрии.
Предварительные замечания, касающиеся изложения дифференциальной геометрии в курсе 2
I
248 S. Дифференциальная геометрия: общий обаор
С чем читатель курса 1 не сможет познакомиться
Геодезические — это инструмент, с помощью которого удается сделать многое: дать определение параллельного переноса (гл. 10), дать определение ковариантной производной (гл. 10), количественно описать отклонение геодезических (гл. 11), дать определение кривизны пространства-времени (гл. 11) и исследовать ньютоновское тяготение (гл. 12). Лишь после того, как будут исчерпаны все возможности геодезических, свободных от метрики, в курсе 2 опять появится эйнштейновская метрика (гл. 13—15).
Ho отказаться от метрики — такая роскошь, которую нельзя позволить в рамках курса 1, поскольку при этом останется слишком мало времени для релятивистских звезд, космологии, черных дыр, гравитационных волн, экспериментальных тестов и динамики геометрии. Поэтому в приведенном в данной главе обзоре, относящемуся к курсу 1, везде используется метрика Эйнштейна. Однако при этом приходится поступиться многим, а именно: 1) отказаться от возможности проследить за действием кривизны в ньютоновском пространстве-времени (гл. 12); 2) отказаться от возможности сравнить и противопоставить геометрические структуры ньютоновского пространства-времени (гл. 12) и эйнштейновского пространства-времени (гл. 13), а следовательно, отказаться от возможности в полной мере понять ньютоновское обоснование уравнений поля Эйнштейна (гл. 17); 3) отказаться от возможности в полной мере понять математическую взаимосвязь понятий «геодезическая», «параллельный перенос», «ковариантная производная», «кривизна» и «метрика» (гл. 9—11, 13); 4) отказаться от возможности ввести математические предметы «дифференциальная топология» (геометрия без метрики и ковариантных производных, гл. 9) и «аффинная геометрия» (геометрия с ковариантными производными, но без метрики, гл. 10 и 11) — предметы, которые находят широкое применение в современной аналитической механике (см., например, [138], а также упражнение 4.11 в этой книге), в теории групп Ли, глубоко проникнувшей в физику элементарных частиц (см., например, [139], а также упражнения 9.12,
