Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
L10=I, L% = -|i = cos0, LzQ = — = — г sin 0,
Lxт = sin 0 cos ф, Lxq = г cos 0 cos ф, Lxф = —г sin 0 sin ф,
Lvt = sin 0 sin ф, Lvq = г cos 0 sin ф, 1/% = г sin 0 cos ф.)
г. Используя матрицу преобразования, найдите компоненты метрики gab в сферическом координатном базисе; обратив полученную матрицу, найдите (Ответ:
goo=—!, grr = I, gee = Г2, Вфф = г2 sin2 0 все остальные gap = 0.
g00= —I, gTT = I, gee = r~2, g** = r~2sin-20 все остальные g“P=0.)
д. Покажите, что некоординатный базис {е~} везде является ортонормированным, Т. е., ЧТО g~ g =1HaP, или
д = — <g><0° -|-a>r (gnu г _|_ ?)0 (g)(1) е _!_(!)$ 0©?.
УПРАЖНЕНИЯ
I
УПРАЖНЕНИЯ
256 8. Дифференциальная геометрия: общий обзор
е. Запишите градиент функции / в сферических координатном и некоординатном базисах. (Ответ:
-*••+*•*+4-*-'+лЬЗ-»-)
ж. Чему равны компоненты тензора Леви-Чивиты в сферических координатном и некоординатном базисах? (Ответ для координатного базиса:
®0г6Ф== —ЄгОЄФ = “Ь 8)-00ф = . . . = Г"2 SinB1 є0гвФ_ —8гО0ф_ _|_ gr60<> _ . . . = —г~Ъ sin-1 0.)
8.2. Коммутаторы
Встанем на точку зрения математика, который считает, что векторы и производные по направлению — одно и то же, и == д„.
Пусть ииу — два векторных поля; определим их коммутатор подобно тому, как это делается в квантовой механике:
[u, v] = [<?„, д,] = д„д, — д,д„. (8.13а)
а. Получите следующее выражение для [u, V], справедливое
в любом координатном базисе:
[U, »] = (и^.р—l>Pu“p) ва. (8.136)
Таким образом, несмотря на то, что [и, V] похоже на дифферен-
циальный оператор второго порядка, на самом деле это оператор первого порядка, т. е. касательный вектор.
б. Для произвольного базиса {еа} определяем коммутационные коэффициенты cpve и свуа:
[вр, ву] Сру®ва» *-Pva == ?в|*^Рт^* (8.14)
Покажите, что для любого координатного базиса с^а = Cevet = 0.
в. Найдите для сферического некоординатного базиса, рассмотренного в упражнении 8.1. (Ответ: всес^~а равпы нулю, за исключением
= -с§;5= -1/г,
----сф? * = — 1/г.
с§$ *= ~сФв$= -ctS6Zr-)
8.3. Компоненты тензора Леви-Чивиты в неортонормированной системе отсчета
а. Покажите, что выражения (8.10) представляют собой компоненты е в произвольном базисе, где е0 направлен в будущее, а B1, е2, вз — правая тройка. [Указания: 1. Просмотрите описа-
§ 8.4. Тензорная алгебра в искривленном простр.-времени 257 Ц
ние е в лоренцевых системах, данное в упражнении 3.13. 2. Найди- упражнения те eaBve и e“0v6 с помощью преобразования из локально лоренцевой системы {е~}, например
8aPve == Ij yL ** в® ц ^ р •
3. Покажите, что эти выражения сводятся к
eaPve = det Il L\ Il es g 5s, e“Pv6 e det Il Lv- Il eS* ?'\
4. Исходя из закона преобразования для компонент метрики, покажите, что
(det Il Lv-ID2 det HgaPlI= —1.
5. Объединив эти результаты, получите выражения (8.10).]
б. Покажите, что компоненты тензоров перестановок [определяемых соотношениями (3.50з) — (3.50к)], имеют в произвольных системах отсчета те же значения (3.50л) — (3.50н), что и в лоренцевых системах.
Дополнительные упражнения по тензорной алгебре — упражнения 9.3 и 9.4 (стр. 292).
Дополнение 8.4. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА В ФИКСИРОВАННОМ СОБЫТИИ В ПРОИЗВОЛЬНОМ БАЗИСЕ
А. Базисы
Базис касательных векторов: выбираем е0, elt е2, е3 в Si0 произвольным образом, но с условием, чтобы они были линейно независимы.
«Дуальный базис» 1-форм: базис {еа} позволяет определить базис 1-форм {юв} («дуальный к нему базис») из соотношения
<©“, ер> = 6®р
[см. соотношение (2.19)].
Геометрическая интерпретация (фиг. 9.2): е2> в3, в0 параллельны поверхностям со1, а ві пересекает точно одну поверхность «о1.
Функциональная интерпретация: равенство (со®, ер) = 8“р определяет значение (Oa на произвольном векторе и = мрвр (число «ударов колокола», когда U пересекает (Oa):
((0е, и) = (o)a, u&ep) = IiP ((0“, вр> = б“э = иа.
Частный случай: координатные базисы. Выберем произвольную систему координат {Xа (Э4)}. В событии Si0 в качестве базисных векторов возьмем Oa = OaIiIdxa. Тогда дуальный базис имеет вид (Oa = CTre. Доказательство: общее соотношение <d/, V) = d4f (2.17), не зависящее от системы координат, при f = xa и V = д&Ідхї принимает вид
(dtfa, д&/д:rP) = {д/дхї) а-® = 6“э.
17-01457
I
258 8. Дифференциальная геометрия: общий обзор
Б. Алгебра касательных векторов и 1-форм
Обсуждение соотношений (2.19) — (2.22) в лоренцевой системе совсем не меняется при переходе к произвольному базису. Основные выводы: разложение, U = BctWot, о=оа<оа; нахождение компонент, Ua = (ю“, u), CTa = (о, ea); значение формы на векторе, (о, и) = оаиа.
Приложение к градиентам функций:
разложение, d/ = /,a®)a (определение /_а);
нахождение компонент, />а = (Af, ва) = BeJ [см. соотношение (2.17)].
Поднятие и опускание индексов осуществляется с помощью и gaft [соотношения (8.5) и (8.6)]. Доказательство:
и—1-форма, соответствующая вектору и, определяется посредством соотношения (и, V) = U-V, которое должно выполняться для всех v; тогда Ma = (u, ea> = u-ea = wpep-ea = Mpgpa; обратив это равенство, получаем Wp = ^PaWa.
