Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
BaPve= ( — g)m [apv6], e«fM = r I8apve = _ (_ g)—1/2 [apYgb
где [офтб]—совершенно антисимметричный символ
Г + 1» если офуб четная перестановка 0123,
[aPv6] = ^ — It если офуб нечетная перестановка 0 1 2 3, (8.106)
I 0, если не все сфуб различны,
и где через g обозначен детерминант матрицы ||gap||
g = det Il gafi Il = det Il ва -вр ||. (8.11)
В дополнении 8.4 дано полное рассмотрение и доказательства; упражнение 8.1 позволит лучше понять и овладеть материалом.
В проведенном выше обсуждении есть несколько опасных мест. В плоском пространстве-времени мы часто не говорим, где расположен вектор, 1-форма или тензор. He задумываясь, мы сво-
8) правила оперирования о компонентами почти не ивменяются при использовании иеортонор-мироваиного базиса
Компоненты
метрики
Преобразование
базиса
Компоненты
тензора
Леви-Чивиты
Векторы н тензоры нельзя перемещать вз точки в точку
Определенве
касательного
пространства
Определения
вектора
в искривленном
пространстве-
времени:
1) в виде
d&/dk
2) как производной по направ* леиню
254 & Дифференциальная геометрия: общий обзор
бодно перемещаем геометрические объекты от события к событию. При этом, конечно, неявно подразумевается правило переноса: при перемещении все длины и направления остаются фиксированными, т. е. фиксированы все компоненты в лоренцевой системе, или объект перемещается «параллельным переносом». Однако в искривленном пространстве-времени не существует глобальной лоренцевой системы, в которой можно было бы фиксировать компоненты; а объекты, первоначально параллельные, после «параллельного переноса» вдоль различных кривых перестают быть параллельными («отклонение геодезических»; земные меридианы, параллельные на экваторе, пересекаются на Северном и Южном полюсах). Таким образом, в искривленном пространстве-времени нельзя беспечно перемещать объекты из точки в точку, не описав тщательным образом, как и по какому пути они переносятся. У каждого локального геометрического объекта есть свое официальное местоположение (событие S50); он может взаимодействовать с другими объектами, расположенными там же (тензорная алгебра), но он не может взаимодействовать с произвольным объектом в другом событии $, пока его соответствующим образом не перенесли из S50 в (5.
Такой ход рассуждений при дальнейшем развитии приводит к понятию «касательного пространства» в каждом событии, в котором лежат векторы (стрелки) и 1-формы (семейства поверхностей) данного события и в котором действуют его тензоры (линейные машины). Рисуют даже эвристические картины касательного пространства, подобные фиг. 9.1 (стр. 288).
К числу других опасностей в искривленном пространстве-времени следует отнести искушение представлять себе векторы как стрелки, соединяющие два события («точка острия и точка основания»),— т. е. представлять себе касательное пространство, изображенное на фиг. 9.1, расположенным в самом пространстве-времени. Такое представление может оказаться полезным для эвристических целей, но оно несовместимо с абсолютной математической строгостью. (Каким образом можно уложить касательное пространство в искривленную поверхность?) На фиг. 2.1 дано четыре определения вектора: три из них основаны на «точке острия и точке основания» и одно чисто локальное (dSVdX). Только локальное определение целиком приемлемо для искривленного пространства-времени, но даже и оно может быть улучшено с точки зрения математиков следующим образом.
Существует взаимно однозначное соответствие (полный «изоморфизм») между векторами U и операторами производной по направлению ди. Понятие вектора не совсем четко определено, тогда как «производная по направлению» определена абсолютно строго. Чтобы избавиться от нечеткости, используем в полной мере изоморфизм: положим по определению, что касательный вектор U совпадает с соответствующей производной по направлению
U = д„. (8.12)
§ 8.4. Тензорная алгебра в искривленном простр.-времени 255
1
(Такой подход, хотя и может оказаться вначале незнакомым для физика, весьма плодотворен в математике, и мы будем им часто пользоваться в этой книге. Более полное рассмотрение см. в § 9.2).
8.1. Упражнение по тензорной алгебре
Пусть /, х, у, z — лоренцевы координаты в плоском пространстве-времени, и пусть
г = (х2 —у2 —J— z2)1^2, 0 = arccos(z/r), ф = arc tg (у/х)
— соответствующие сферические координаты. Тогда
B0 = OPldt, вг = дР/дг, Ве = дР/дО, в* = 0Р/0ф
— координатный базис, а
_ д&> Ъ&> ___I д& _ 1 д&>
dt ’ дг ’ г дв ’ rsinG дф
—некоординатный базис.
а. Нарисуйте векторы ее, вф, е§ и в$ в нескольких точках на сфере постоянных значений t, г. (Для Єє, Вф ответ должен напоминать фиг. 9.1.)
б. Что представляют собой базисы из 1-форм {со®} и {<оа}, дуальные к этим базисам из касательных векторов? (Ответ: G>0 = dt, <or=dг, со6 = d0, <o* = d^; <о® = df, <er = dr, <e® = rd0, w? = r sin 0 d ф.)
в. Что представляет собой матрица преобразования, связывающая начальную лоренцеву систему со сферической системой координат {ва}? (Ответ: отличные от нуля компоненты равны
