Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
В. Переход к новому базису
Проведенное рассмотрение преобразований Лоренца и соотношения (2.39) — (2.43) применимы и к общему случаю перехода к новому базису, если заменить || Аа’в || на произвольную несингулярную матрицу || La'р || [соотношения (8.7), (8.8)]. Основные выводы:
в«' = B^Lpa', Bp=B0i>L р; со®' = Lap<i)P, coP = LPa'«>e';
Vа' = LapyP, уР = Lpa>va';
Oa' = GfiLpa', Op = Oa-L p.
Если оба базиса являются координатными базисами, то Lpa- = дх^/дха', La р = = дха'Iдх&. Доказательство:
_ д _ дхР д дхР
дха дха дх$
подобным же образом
дха’
®р- дхь
дх'
а.’
Г. Алгебра тензоров
Все изложение § 3.2 [соотношения (3.8) — (3.22)] и § 3.5 (за исключением гра-диепта и дивергенции), касающееся тензорной алгебры, остается без изменений, за исключением того, что
Лар-*?ар, Aa'p->L“'p, Apa- -+ Lpa-,
§ 8.5. Параллельный перенос, ковариантная производная 259 |
а компоненты тензора Леви-Чивиты задаются (8.10) вместо (3.50) [см. упражнение 8.3].
Основные выводы:
разложение, S = Sapvea ® <ор ® <»v;
компоненты, Sapv = S(coa, Єр, ev);
поднятие и опускание индексов, Sppv = ?nagvv*S%v;
періеход к новому базису, Sx ^v- = Lk ceLpti-Lvv-5“pv;
действие линейных машин, S (о, u, V) = SaPvOeUPi??;
тензорное произведение, T = U ® V <=> Ta^ = иауР;
свертка, «М = свертка R по каналам 1 и 3» <=> Miiv = ^atiav;
косое произведение а Д P обладает компонентами aMPv—PixCtv;
дуальные тензоры, Vcipv= /%aPv>* ^aP = у ^Wfl, *5a = i-fiX|AV8XnVa.
Д. Коммутаторы (упражнение 8.2, § 9.6, дополнение 9.2)
Пусть Uhv — два поля касательных векторов, тогда, принимая во внимание, что U = ди и V = д„ положим по определению
[U, V] = [d„, д,] = <5іЛ — д*ди.
Этот коммутатор сам есть поле касательного вектора. Компоненты в координатном базисе:
[u, Vl = (uPfa,fl— уРц“,р) (д/дха)
T
L-I = Ba]
Коммутационные коэффициенты базиса:
[ва, вр] = CaP^ev, Caflfi = CafP^w В координатном («голономном») базисе copv = 0.
В некоординатном («неголономном») базисе некоторые из capv ф 0 (см. упражнение 9.9).
§ 8.5. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС, КОВАРИАНТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ, КОЭФФИЦИЕНТЫ СВЯЗНОСТИ, ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ
Мостом, связывающим классическую механику и квантовую механику, является принцип соответствия. Подобным же образом мостом между плоским пространством-временем и искривленным пространством-временем является принцип эквивалентности: «Законы физики в любой локально лоренцевой системе искривленного пространства-времени точно такие же, как и в глобальной лоренцевой системе плоского пространства-времени». Ho чтобы применять принцип эквивалентности, необходимо иметь матема-
17*
Принцип
эквивалентности
— мост между
плоским
пространством-
временем
¦ искривленным
I
260 5. Дифференциальная геометрия: общий обзор
Локально
лорснцева
система:
математическое
представление
Определение
параллельного
переноса
тическое описание локально лоренцевой системы. Очевидный способ выбора состоит в следующем: локально лоренцева система в данном событии Ss0 представляет собой систему, которая лучше всего согласуется с глобальной лоренцевой системой в этом событии; т. е. это система координат, в которой
Cuv(^o) = %v (8.15а)
и в которой ^liv настолько близки к Tjlxv в окрестности Ss0, насколько это возможно:
^uva(Ss0) = O. (8.156)
В общем случае ^lxv нельзя сделать еще ближе К Tltiv I?nv.ap(S50) нельзя обратить в нуль]; они должны изменяться из-за кривизны пространства-времени. [Рассмотрите соотношения (8.24) и (8.44) совместно с материалом § 11.5.]
В локально лоренцевой системе в искривленном пространстве-времени наблюдатель может сравнивать векторы и тензоры в соседних событиях точно так же, как он делал бы это в плоском пространстве-времени. Ho чтобы провести сравнение, он должен
параллельно перенести их в одно общее событие. С его точки
зрения параллельный перенос осуществляется просто: все компоненты в лоренцевой системе сохраняют свои значения точно так же, как если бы он находился в плоском пространстве-време-ни. Ho для наблюдателя, не имеющего локально лоренцевой системы, а возможно, и вообще ни системы координат, ни базисных векторов, параллельный перенос не так прост. Он должен либо узнать результат у своего товарища из лоренцевой системы, либо использовать более сложную методику. Один метод, которым он может воспользоваться,—«лестница Шилда», для построения которой не нужны ни координаты, ни базисные векторы,— описан в § 10.2 и в дополнении 10.2. Ho читателю курса 1 не требуется овладеть методом построения «лестницы Шилда». Он всегда может узнать результат любого заданного параллельного переноса у локально лоренцева наблюдателя или воспользоваться общими формулами, выведенными ниже.
Сравнение с помощью параллельного переноса есть то, на чем основано понятие градиента тензорного поля VT. В § 3.5, где впервые определен градиент, совсем не упоминается параллельный перенос, однако неявно параллельный перенос там использован: VT определен таким образом, что его компоненты составляют Т\у = дТ%/д.ту ? здесь T — тензор ранга (J)] , т. е. VT
