Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
г нРт = — teuP» v+fov. P—gpy. tt + сиРу + gHvP—CpTtt); (8.246)
в координатном базисе]_______T
эти члены равны 0 J
5) поднимаем индекс, получая в результате коэффициенты связности
r°Pv = ^rllPv. (8.24b)
(Замечание по терминологии. В координатном базисе, иногда называемом голономным, всегда саpv = 0, в некоординатном базисе, иногда называемом неголономным, всегда некоторые из саpv отличны от нуля. В случае голономного базиса коэффициенты связности иногда называются символами Кристоффеля.)
Компонентные обозначения с их точками с запятыми, запятыми, символами D, коэффициентами связности и т. п. с первого взгляда выглядят довольно сложными. Ho как только мы углубляемся в теорию гравитации, то сразу обнаруживаем, что в них
Компоненты ковариантной производной
Нахождение коэффициентов связности с помощью метрики
и коммутаторов
I
264 S. Дифференциальная геометрия: общий обзор
Определение геодезической и аффинного параметра
Уравнение
геодезических
кроются огромные вычислительные возможности, а правила обращения с ними достаточно просты и легко усваиваются. Абстрактные обозначения (VT, VuT и т. п.), напротив, плохо приспособлены для сложных выкладок, но очень наглядны.
Это различие четко проявляется в том, как в двух системах обозначений описывается понятие геодезической. В пространстве-времени геодезическая представляет собой кривую, которая в каждой локально лоренцевой системе, построенной в точках кривой, является прямой и имеет равномерную параметризацию. Если геодезическая времениподобна, то она может представлять собой мировую линию частицы в состоянии свободного падения, причем ее равномерно изменяющийся параметр % (называемый аффинным параметром) отличается лишь на множитель от собственного времени частицы: Я, = ах + Ъ. (Принцип эквивалентности: пробные частицы движутся по прямым линиям в локально лоренцевых системах; у каждой частицы с точки зрения произвольного лоренцева наблюдателя часы идут с постоянной скоростью.) Это определение геодезической легко формулируется на абстрактном свободном от координат языке: геодезическая есть кривая Si (к), касательный вектор которой U = dSi/dX переносится параллельно вдоль нее самой:
V„u = 0 (8.25)
(см. фиг. 10.1). Что может быть проще с идейной точки зрения? Ho чтобы по заданному начальному событию Si0 и начальному касательному вектору и (Si0) в нем рассчитать геодезическую, необходимо воспользоваться компонентным формализмом. Введем систему координат ха (Si), в которой иа = dxa/dk, и запишем уравнение (8.25) в компонентной форме:
Л D (dxa/dX) _ d (dxaldX) , / dx11 \ dx'1 U — Ж ~ dX +I1 IiV dX I dX
(ср. c (8.23), где у Г на один индекс меньше); получаем
d2xa , pa dx11 dxv n /Q
-5Р- + Г^-5Г-ЇГ=0' (8-26>
Если заданы начальные данные (ха и dxa/dk при к = X0), то это уравнение геодезических можно (в принципе) разрешить относительно координат геодезической ха (к).
Геодезические на поверхности Земли (окружности больших кругов) позволяют лучше представить себе, что такое коэффициенты связности (фиг. 8.3).
Материал данного параграфа изложен более глубоко и с различных точек зрения в гл. 10 и 13. Читателю курса 2, который намеревается изучить эти главы, можно посоветовать опустить следующие ниже упражнения. Читатель курса 1, который намеревается пропустить гл. 9—15, проработав упражнения 8.4—8.7, приобретет необходимый навык оперирования с компонентами.
Схематическое пояснение возникновения коэффициентов связности. Летчик, следующий по маршруту Пекин — Ванкувер вдоль окружности большого круга, видит, что сначала он летит на север, а затем на юг, несмотря на то, что он все время летит по кратчайшему маршруту из всех, которые ему доступны (по геодезической). Кажущееся изменение направления означает поворот, но не курса летчика, а системы координат, по отношению к которой этот курс измеряется. Если вектор его скорости у (вектор, определенный не в пространстве-времени, а на двумерной поверхности Земли), взятый в более ранний момент времени, переместить с помощью параллельного переноса в точку, где летчик находится в более поздний момент, то мы обнаружим, что он совпадает с векторои скорости летчика в этот более поздний момент; на абстрактном языке свободной от координат дифференциальной геометрии кова-риантная производная V,V равна нулю навеем пути следования («уравнение геодезической»). Хотя у в этом смысле и постоянен, отдельные слагаемые, из которых, с точки зрения летчика, состоит этот вектор, V = V^Bq + отнюдь не постоянны.
На языке компонент величины и0 и v* изменяются вдоль пути следования со скоростью, необходимой для обращения в нуль ковариантной производной от у, т. е.
VvV = а = афеф + а0в0 - О,
или
о=а0=4г+ 0=аФ=^г+ Oim^n-
В этом смысле коэффициенты связности играют роль «коэффициентов поворота», которые говорят нам, с какой скоростью следует «поворачивать» компоненты вектора, чтобы сохранять вектор постоянным (компенсировать эффект поворота базисных векторов).
С другой стороны, летчик может воспользоваться «автопилотом», который осуществляет параллельный перенос своих собственных базисных векторов вдоль курса самолета: VvS0, = =Т,вф,= 0; векторы, изображенные в сплошными линиями, переходят в векторы, изображенные в SS штриховыми линиями. Тогда, чтобы путь следования был окружностью большого круга, компоненты v должны сохранять постоянные значения;
