Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Дополнение 8.3. ТРИ УРОВНЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
1. Представление геометрии с помощью одних только чертежей: касательный вектор представляется в виде разделения двух точек в пределе, когда эти точки бесконечно близки друг к другу;
векторы складываются и вычитаются локально так же, как и в плоском пространстве;
векторы в разных точках сравниваются с помощью параллельного переноса из одной точки в другую;
этот параллельный перепое выполняется с помощью «лестницы Шилда», построенной из геодезических (дополнение 10.2); чертежи — да, алгебра — нет;
с точки зрения основных концепций это представление геометрии настолько тесно связано с пробными частицами и измерениями, пасколько это вообще возможно.
2. Абстрактная дифференциальная геометрия:
предполагает, что касательный вектор существует сам по себе, и нет необходимости разлагать его па компоненты:
А =» Л°во+ Л‘в і + A2B2 + А3ш 3,
подобно тому, как мы уже привыкли оперировать с вектором электрического поля Et не выписывая его компонент; подобный же подход используется при дифференцировании (ср. оператор градиента V простейшего векторного анализа и зависящие от координат части этого оператора: д/дх, діду и т. д.); является математической схемой, которая из всех известных схем позволяет
I 252 S. Дифференциальная геометрия: общий обзор
самым быстрым и простым образом получать общие результаты в дифференциальной геометрии.
3. Дифференциальная геометрия, представленная на языке компонент:
незаменима при составлении больших программ для численных расчетов в общей теории относительности;
удобна, а иногда и необходима, когда дело доходит, пусть даже на простейшем алгебраическом уровне, до самых несложных приложений общей теории относительности, от фридмановской расширяющейся вселенной до кривизны в окрестности статического тяготеющего центра.
§ 8.4. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ
Тензорная
алгебра:
1) действует в бесконечно малой
окрестности
события
2) в искривленном пространстве та же, что и в плоском
Чтобы увидеть кривизну пространства-времени в действии, нужно рассмотреть приливные силы тяготения (отклонение геодезических); чтобы определить эти силы, нужно провести измерения в лаборатории конечного размера. Ho стоит уменьшить лабораторию до бесконечно малых размеров, как все эффекты, связанные с кривизной пространства-времени, станут бесконечно малыми; физик уже не сможет сказать, находится ли он в плоском или в искривленном пространстве-времени. Математик тоже не сможет, если область, на которой он сосредоточил свое внимание, сжимается в пределе до одного события S50.
В событии Si0 (в бесконечно малой лаборатории) как физик, так и математик могут свободно говорить о векторах, 1-формах, тензорах; каково бы ни было значение кривизны пространства-времени, их обсуждение не будет по форме отличаться от аналогичного обсуждения в плоском пространстве-времени. Частица в Si0 обладает 4-импульсом р, квадрат величины которого равен
P2 = P P = B (P. P)=
Как обычно, для вычисления квадрата длины нужно ввести р в оба входных канала линейной машины — метрики g в событии <9*0. Частица обладает в S50 также 4-ускорением а, и если частица заряжена и движется свободно, то а создается тензором электромагнитного поля F:
та = eF (..., и).
Кривизна никак не может влиять на эти локальные, не зависящие от координат соотношения. Она не может также помешать ввести локально лоренцеву систему в S50 и произвести в ней стандартные манипуляции с индексами, обычные для плоского пространства:
P = PaOa, р2 = PaP^lap = PuPaі ИМ»* = в F0^Ufi.
Ho того, кто собирается оперировать в искривленном пространстве-времени, локально лоренцевы системы не могут удовле-
§ 8.4. Тензорная алгебра в искривленном простр.-времени 253
I
творить. Нелоренцевы системы (с неортонормированными базисными векторами {еа}) часто упрощают выкладки. К счастью, чтобы овладеть «индексной техникой» в произвольном базисе в фиксированном событии Si0, не требуется никаких усилий. Правила здесь точно такие же, как и в плоском пространстве-времени, за следующими исключениями: 1) ковариаптные лоренцевы компоненты метрики т|аВ следует заменить на
&хР = Єа-Єр = Я(Єа, Єр); (8.5)
2) контравариантные компоненты т|“Р следует заменить на g“P, где
IItfotpII = Ikapirt (обратная матрица), (8.6)
т. е.
grtgt* =6«v; (8.6')
3) матрицу преобразования Лоренца || Aa р|| и обратную ей матрицу И Apa- К следует заменить на произвольную, но не сингулярную матрицу преобразования ||Lep|| и обратную ей матрицу \ Lfiа' ||:
ep = e<x'L“'p, р* = LVpe'. (8.7)
Il ^ Il = II^pII-1; (8.8)
4) в частном случае «координатных базисов», Ba = dZP/dx?, Єр> = даР/дхї',
La' 1дх$, Lptt' = дх$/дхР'\ (8.9)
5) тензор Леви-Чивиты 8, подобно метрическому тензору, имеет компоненты, которые зависят от того, насколько базисные векторы отличаются от ортонормированных (см. упражнение 8.3): если е0 направлен в будущее, а B1, B2, е3 — правая тройка, то
