Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(Указание. В локально лоренцевой системе d (собственный объем)= упражнение
— dt dx dy dz. С помощью якобиана преобразуйте этот элемент объема в данную координатную систему отсчета, а затем, воспользовавшись законом преобразования
дх» *rv дха дх
покажите, что якобиан равен Y—S-)
Srt----------Ъ*.
Дополнение 8.5. ГЕОРГ ФРИДРИХ БЕРНХАРД РІ1МЛІІ, 17 сентября 1626 г.
Брезелгнц, Гавновер — 20 июля 1866 г. Сгласка, Лаго-Маднсоре
Своей знаменитой докторской диссертацией «Основы общей теории функций одной комплексной переменной» Рнман в 1851 г. залон.ил основы одной области современной математики (теории римановых поверхностей), а три года спустя своей знаменитой лекцией — основы другой области (римановой геометрии). Эти две и другие его работы можно найти в собрании сочинений [143], изданном в 1953 г.
«Тссвойства, которые выделяют пространство из других мыслимых трижды протяженных величин, могут быть почерннуты только из опыта ... В каждой точке мера кривизны может по трем направлениям иметь какие угодпо значения, лишь бы в целом кривизна доступных измерению частей пространства заметно не отличалась от нуля» (Риман,
«О гипотезах, лежащих в основании геометрии», лекция, прочитанная 10 июня 1854 г. при вступлении в должность приват-доцента па философском факультете Геттингенского L университета).
Двенадцать лет спустя, умирая от туберкулеза, поглощенный мыслью дать единое объяснение тяготения и электромагнетизма, Риман сообщил Бетти свою систему описания многосвязных топологий (что явилось толчком для представления об электрическом заряде как о «силовых линиях в пространственной топологической ловушке»), иснользующую числа, которые теперь называют но имени Бетти, а обозначают символом Hn в честь Рнмаиа.
«Болес подробное п тщательное исследование поверхности могло бы обнаружить, что у того, что мы считали простейшим участком, в действительности имеются крошечные рукоятки, меняющие характер связности участка, а микроскоп с еще большим увеличением привел бы к обнаружению новых топологических усложнений подобного рода, и так до бесконечности. Точка зрения Римана допускает (и в реальном пространстве тоже) топологические условия, совершенно отличные от условий, известных в эвклидовом пространстве. Я полагаю, что лишь
I
278 S. Дифференциальная геометрия: общий обзор
на основе более свободного и более широкого взгляда на геометрию, который возник в результате развития математики на протяжении последнего столетия, относясь без предубеждений к открывшимся возможностям проявить воображение, можно предпринять философски не бесплодное наступление на проблему пространства» (Г. Вейль [144]).
«Ho ... физики были еще далеки от того, чтобы думать таким образом; для них пространство было чем-то жестким, неподвижным и однородным, не допускающим изменения или наложения каких-то условий. И только гений Римана, одинокий и непонятый, уже к середине прошлого столетия нашел свой подход к понятию пространства — подход, который лишал пространство его жесткости и допускал возможность того, что оно принимает участие в физических явлениях» (А. Эйнштейн [145]).
Римап сформулировал первую известную модель суперпространства (об этом см. гл. 43), но суперпространства, построенного не из совокупности всех 3-геометрий с положительно определенной римановой метрикой (динамическая сцена эйнштейновской общей теории относительности), а из совокупности всех конформно эквивалентных замкнутых римановых 2-геометрий с одинаковой топологией,— тип суперпространства, известный ныне под названием пространства Тайхмюллера. Более подробно о вкладе Римана и о последующем развитии идеи суперпространства см. в главах, написанных Берсом и Уилером, в книге [146].
Дополнение 8.6. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА: ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Понятяе Абстрактное обозначение Компонентное обозначенне
Ковариантная производная V11T= VT ( и) Г?а; v“V = DT^a/dk (u = d^fdk) =
v„/=au/=(d/, U)
алгебраические свойства (упражнение 8.11) ^au + Ь,Т = <*VuT + +*v,t Vu (S+M) = VUS+ VuM yPa; v (a“V + bv^ = аГРа; V“V + v*T (5Ра + Л/Єа);v MV = 53a;vltV+JtfPa.
VuW-VwU = [и, W], j 7Vvl=-Yciivp [соотн°піение (8.34)]
где и и W- векторные поля
дифференцирование произведения Vu (А® В) = (VuA) ® ® В +A® (VnB) Vu (/A) = (VU/) A + (Aa6By). ц в* = Aap. ци* (M“p); н «“ = /.H^V* +ц**1*
+ /Vu А
§ 8.7. Отклонение геодезических и тензор Римана 279
Продолжение
Понятие Абстрактное обозначение Компонентное обозначение
V11 и свертка Vu (свертка S) =
коммутируют = (свертка VuS) а а
* метрика ко- VuB = O tfaf$;V“V==0
вариантно по-
стоянна
Градиент VT *fa; V = ^a1V + ^РпЛ-
Коэффициенты связности r“Pv =<<*“, VvBp)= Fafiy=SallW ^nPv = (SnP.v +Snv.P—+cnPv + +cIivP-cPvn)* cPw = SnacPva = = *ца(ю“, 1вр, 8V]>*
= —<Vv(0a, Єр)
* Локально лорен- Система координат, в которой Snv (^о) =
цева система от- = rInv' /iaPv (^о) = 0
счета В &<)
Параллельный пе- VuS=O 5“p;v«v = o
ренос
Уравнение геоде- VuU=O d*xa/dk2+Taliv (Axv-IdX) (dxv/dk) = 0
