Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мизнер Ч. -> "Гравитация Том 1" -> 106

Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.

Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация Том 1 — М.: Мир, 1977. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyatom11977.djvu
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 180 >> Следующая


Дополнение 9.1. КАСАТЕЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ И КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Касательный вектор dSi/dk определяется как «предел при TV-v оо, к которому стремится умноженное на N смещение, испытываемое Si при изменении X от 0 до 1/7V». Нельзя представлять себе, что получающееся в результате смещение dS^ldk лежит в пространстве-времени; там ему нельзя придать нужный смысл (отсутствует понятие прямолинейности). Вместо этого мы изображаем dS^/dk лежащим в «касательной плоскости», или в «касательном пространстве», которое касается про-странства-времени только в одном событии Sfi (0), которому принадлежит dtP/dk.
§ 9.3. BaaueHt компоненты и законы преобразования векторов 287

2

Все остальные касательные векторы в <9* (0), например doP/dp, daP/dr\, deP/dfc лежат в том же касательном пространстве.

Чтобы придать понятиям касательного вектора и касательного пространства точный смысл, можно считать, что пространство-время погружено в плоское пространство более чем четырех измерений. Тогда можно, воспользовавшись

прямыми стрелками плоского пространства вложения, осуществить предельный переход, который даст deP/dk. В результате получится картина, аналогичная изображенной выше, но с большим числом измерений.

Ho такая трактовка небезопасна. Исходя из нее можно неправильно предположить, что касательный вектор daP/dk и касательное пространство в S50 зависят от того, как осуществляется погружение, или самим своим существованием обязаны процессу погружения. Однако это не так. И стремление ясно показать, что это не так, Побуждает ввести определение касательного вектора как оператора производной по направлению d/dX, а не использовать более наглядное понятие doP/dh, введенное Картаном.

§ 9.3. БАЗИСЫ, КОМПОНЕНТЫ И ЗАКОНЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРОВ

Особенно удобным базисом в касательном пространстве в событии аР0 является базис, определяемый какой-либо системой координат [четыре функции а-0 (ІР), X1 (3і), X2 (аР), Xa (5s)] (фиг. 9.1)

во

а / производная по направлению \

= (-а-г) =I вдоль кривой с постоянными I , (9.5)

\ /х1< х2, *з ^ ^ ^ и параметром X =

Bi =

дх1

B2 =

д

дх2

д

5x3

Базис,

определяемый

системой

коордниат

Преобразование от одного базиса к другому в касательном пространстве в вР0, подобно всякому переходу к новому базису в любом векторном пространстве, осуществляется с помощью

Переход к другому базису: определение матриц

преобразования
288 5. Дифференциальная топология

ФИГ. 9.1.

Базисные векторы, определяемые в касательном пространстве каждого события системой координат пространства-времени. Здесь изображено усеченное двумерное пространство-время (два других измерения отброшены) с координатами х (&) и ф (^) и соответствующими базисными векторами д1д% и д/дф.

несингулярной матрицы

ва*=вэ Lp*.; (9.6)

компоненты вектора, как всегда (включая лоренцевы системы плоского пространства-времени), преобразуются по обратной матрице

= LeV; (9.7)

, й f LaV-V = SaV,

IuePlI = II^VlI-1, т.е. /J V (9.8)

I L/ Ij з ** ^ 3*

Этот «обратный» закон преобразования обеспечивает согласованность разложений и = BarUa' и u=epup:

U = ва'И®' = (eTLVa-) (La’pu3) ав Bv6TpUP = BfiUfi.

В частном случае переходов между координатными базисами матрица преобразования принимает простой вид

д д дха' дха дх&

(согласно обычным правилам дифференциального исчисления), т. е.

La' (дх^/дх* )в C0Quthh где расположено* (9-9)

касательное пространство
§ 9.4. 1-Формы 289

2

(Примечание. Это выражение является обобщением закона преобразования Лоренца = Apa- Xа', который тоже может быть записан в дифференциальной форме APee* = дх&/дха'', такая запись позволяет также легко запомнить правильное написание матриц Л.)

§ 9.4. 1-ФОРМЫ

Удалив из пространства-времени лоренцеву метрику, мы должны усовершенствовать понятие 1-формы о, потребовав, чтобы она, подобно всякому касательному вектору и, была приписана определенному событию Si0 в пространстве-времени. Семейство поверхностей, представляющих о, принадлежит касательному пространству события Si0, а не самому пространству-времени. Пересечение поверхностей о стрелкой U, в результате которого получается число (о, и) («удары колокола»), происходит тоже в касательном пространстве.

Если в событии Si0 задана совокупность базисных векторов {е0, et, B2, в3}, то можно построить дуальный базис 1-форм {со0, «о1, со2, со3}, выбрав поверхности ©Р таким образом, что

(®э, е«) = 6р« (9.10)

(фиг. 9.2). Отсюда следует удивительно простой формализм нахождения компонент касательных векторов и 1-форм:

U = BaWot (определение компонент и), (9.11а)

O = Op(I)P (определение компонент о), (9.116)

иа = (<оа, и) (способ нахождения компонент и), (9.11в)

Op = (о, вр> (способ нахождения компонент о), (9.11г)

<о, u) = OaUa (способ нахождения (о, и) с помощью компонент),

(9.1ІД)

©a' = La р<ор (закон преобразования базиса 1-форм,

соответстствующий (9.6)), (9. He)

Oa^ = O^Lpa- (закон преобразования компонент 1-форм). (9.11ж)
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed