Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
зических в координатном базисе,
Тензор кривизны R (ст, С, А, В) s 4 > і ъ / ¦ |Ь\ At 0Г«ев дГ*к . m дхУ" дх6 1
Римана = {a,M (А, В) С>
SfL (А, В) = [VA, Vb]-
-Via Bj (эти формулы + /’anv/’,1pe-^lne^,ipv
не из курса 1, см. гл. 11) в координатной системе отсчета [выражение в! некоординатной системе дается (11.13)]
Тензор кривизны Риччи Re = свертка R по каналам 1 и 3 Rliv = RalXav = -/l0tIiv,a — -^Via, v + + -^pa^nv Га Pvf^iia в координатной системе отсчета
* Скалярная кри- R = (свертка Re) R = Ra а
визна
* Тензор кривизны O = Re-у дЯ = ^ap —*2" Sap^
Эйнштейна
I
280 8. Дифференциальная геометрия: общий обгор
П родолжевие
Понятие Абстрактное обозначение Компонентное обозначение
¦ Тензор кривизны Эйнштейна Полезные формулы для вычисления (выведены в § 14.2): GO0= _(Д121г + Д2323 -І-Д3131), GOj = B02H + jR03I3, Gl1 = -(Д0202 + Д0303 + Д2323)> G1*= jR1020-(-jR1323 и т. д.
* Симметрии тензоров кривизны RafiyS = Д[ар][у6]= Л[?в][аР] • fl[ocpv6J = 0' Да[Ртв] = 0> Rafi = R(afi)i Gafi = G<ocf»>
Тождества Бианки Дар[цу;Х] = 0
¦ Свернутые тождества Бианки G0*; р = 0
Отклонение геодезических VuVun + R (..., u, n,u)=0 dk2 +RafiV6^nyu6 0
Параллельный перенос по замкнутому контуру (§ И.4) 8A+R (..., A, u, v) = 0, если и, у—ребра кривой бЛа+jRaPve^pUvI;* = 0
* В отсутствие метрики формулы, помеченные звездочкой, не могут быть написаны. Все остальные формулы справедливы и без метрики.
2
9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ
В аналитической геометрии многие соотношения, не зависящие от системы отсчета,
приходится выражать по отношению к некоторой конкретной системе отсчета. Поэтому предпочтительнее создать новые методы — методы, которые имеют дело непосредственно с внутренними свойствами, не прибегая ни к каким координатам.
Развитие топологии общих пространств и объектов в них, так же как развитие геометрии общих метрических пространств, представляет собой шаги в этом направлении.
КАРЛ МЕНГЕР [77J
Эта глава целиком относится к курсу 2.
Ее содержание не зависит от предыдущего материала курса 2.
Она нужна в качестве подготовительного материала
1) для гл. 10—13 (дифференциальная геометрия, ньютоновское тяготение) в
2) для дополнения 30.1 (модель перемешанного мира).
Знание ее материала будет полезным 1) в гл. 14 (вычисление кривизны) в 2) в гл. 15 (тождества Бианки).
§ 9.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ БЕЗ МЕТРИКИ И БЕЗ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
Предметом изучения в этой несложной главе является простран-ство-время без метрики, без геодезических и без параллельного переноса, т. е. «дифференциальная топология». Данная глава проста потому, что все необходимые геометрические объекты (событие, кривая, вектор, 1-форма, тензор) уже известны из плоского пространства-времени. Однако, она также и необходима, поскольку, отказавшись от лоренцевой метрики плоского пространства-времени, мы должны уточнить свои представления.
События
Простейшее понятие события 5s (фиг. 1.2) не нуждается в уточнении. Для него существенно лишь свойство идентифицируемости, которое не зависит от лоренцевой метрической структуры пространства-времени.
Откав от метрика
2
282 0* Дифференциальная тополошия
Геометрические
повятия
необходимо
уточнить
Кривые
Здесь тоже никакого уточнения не требуется. «Кривая» 5s (к) — также слишком простое понятие, чтобы зависеть от того, наделено ли пространство-время метрикой или нет, за исключением того факта, что без метрики не существует понятия «собственной длины» кривой. Это согласуется с ньютоновской теорией тяготения, в которой речь идет о длине кривых в «пространстве», но не в «пространстве-времени».
Векторы
Здесь без уточнения не обойтись. В специальной теории относительности простейшие («идентифицируемые») события наделены достаточным количеством алгебраических свойств, чтобы о векторах можно было говорить как о разностях еР — Cl между «алгебраическими» событиями. Теперь этих свойств нет, и старое представление о векторе как о билокальном объекте («точка острия и точка основания») должно быть заменено новым представлением о нем как о чисто локальном объекте (§ 9.2). Векторы нельзя также перемещать с места на место; каждый вектор должен быть приписан определенному событию (§ 9.2 и 9.3).
1-формы
Почти никаких уточнений не требуется, за исключением того, что без метрики невозможно указать, какая 1-форма соответствует данному вектору (нет возможности поднимать и опускать индексы), и что каждая 1-форма должна быть приписана определенному событию (§ 9.4).
Тензоры
Здесь также почти не требуется уточнений, за исключением того, что каждый входной канал тензора имеет свою специфику: если в него вводят векторы, то его уже нельзя приспособить для ввода 1-форм, и наоборот (нет возможности поднимать и опускать индексы); к тому же каждый тензор должен быть приписан определенному событию (§ 9.5).
§ 9.2. РЕЗУЛЬТАТ УТОЧНЕНИЯ ПОНЯТИЙ «ВЕКТОРА» И «ПРОИЗВОДНОЙ ПО НАПРАВЛЕНИЮ» — ПОНЯТИЕ «КАСАТЕЛЬНОГО ВЕКТОРА»
