Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
0. Выбираем кривую S5 (к), к которой требуется найти касательный вектор при к = 0.
1. Находим число / [5s (1)] — / [5s (0)], которое равно изменению / при перемещении точки if* (X) из Si0 = Si (0) в б0 = = в» (1).
2. Находим число 2 {/ [& (V2)I — f ISi (0)]}, равное удвоенному изменению / при перемещении точки из 5s (0) в Ф (V2).
*) Артефакт (от латинского «artefactum»— искусственно сделанное) — употребляемый в биологин термин, обозначающий процесс или образование, несвойственные организму в норме н вызываемые самим методом его исследования.— Прим. перев.
§ 9.2. Понятие «касательного вектора» 285
N. Находим число N {/ (IMr)] — / [5s (0)]}, равное изменению / при перемещении точки из Si (0) в & (MN), умноженному на N.
оо. Переходим к пределу при N-*- оо: (изменение /) = df/dk.
0. Изменение / — это еще не сам вектор. Вектор — это операция dldk, которая, будучи применена к /, дает изменение dfldk. Таким образом,
касательный вектор = dldk
Icp. определение (9.1)].
Ясно, что операция dldk ничего не содержит, кроме последних шагов N -*¦ оо в этом предельном переходе, причем и эти шаги лишь в тех аспектах, которые не зависят от /. Ho это означает, что она включает в себя бесконечно малые смещения точки 5s и ничего более.
Тот, кто не хочет отказываться от плодотворного подхода в геометрии, развитого Картавом (дополнение 9.1), и в то же время не хочет терять контакта с современными методами, должен все время проводить различие между
А) самим касательным вектором, как его понимал Картан, т. е. смещением точки df^/dk, и
Б) «оператором касательного вектора», или «оператором производной по направлению», указывающим, что происходит с функцией при таком смещении: (оператор касательного вэктора) = = dldk.
Однако в современной практике слово «оператор» в Б опускается, и для обозначения оператора используется само выражение «касательный вектор»; данная книга не является исключением в этом отношении. Сами понятия А и Б тоже сливаются в нашем представлении: когда мы представляем себе диаграмму погружения со стрелками, проведенными касательно к поверхности, то всегда осознаем, что стрелка характеризует бесконечно малое перемещение точки da^ldk, которое происходит на самой поверхности; когда же мы представляем себе оператор производной dldk, то всегда имеем в виду то же самое бесконечно малое перемещение точки в пределах многообразия, перемещение, которое необходимо для нахождения любой производной df(ffi)ldk. В таком понимании вектор dfPldk = dldk следует рассматривать сразу и как «смещение, которое переводит внимание от одной точки к другой», и как «чисто геометрический объект, для построения которого нужны точки, и ничего кроме точек».
Ho упрямый физик все еще может быть склонен заявить: «Касательный вектор равен оператору производной по направлению? Невероятно!» Возможно, его убедят песколько иные доводы. Пусть он возьмет событие &0, в котором выберет произвольную совокупность четырех некомпланарных векторов (векторов, определенных любым способом, который кажется ему разумным) и обозначит их в0, вц в2, в3. Эти векторы будут служить базисом,
2
286 Дифференциальная топология
Изоморфизм
между
производными по направлению и векторами
Определение
каоательного
пространства
по которому можно разлагать все остальные векторы в событии Si0:
U = UaBat V = VaBa. (9.2)
Пусть затем такой физик построит четыре оператора производной по направлению да = д,а вдоль этих базисных векторов. Точно так же, как в плоском пространстве-времени, здесь те же коэффициенты разложения, которые фигурируют В U = Ua ва, фигурируют и в разложении производной по направлению:
ди = иада, дч = VaOa- (9.3)
Следовательно, любое соотношение между определенными векторами в Si0 индуцирует точно такое же соотношение между соответствующими дифференциальными операторами:
u = aw + bv <==*> иа = au?“ +
-?=*- ди = ад* + 65,. (9.4)
Существует полный «изоморфизм» между векторами и соответствующими производными по направлению. Как же может тогда упрямый физик лишить упрямого математика права полностью отождествлять каждый касательный вектор с его производной по направлению? Тем более, что это не причинит никакого ущерба, не изменит ни одного результата вычислений.
Такой изоморфизм приводит к понятию касательного пространства. Поскольку смысл линейных соотношений (таких, как д„ = адщ + Ьд») между производными по направлению в одной и той же точке еР0 вполне определен, а сами эти соотношения подчиняются обычным правилам сложения и умножения, такие дифференциальные операторы образуют абстрактное (но конечномерное) векторное пространство, называемое касательным пространством в точке Si0. На диаграмме вложения (дополнение 9.1) эти производные используются (как операторы в плоском пространстве вложения) для построения касательных векторов її = duSi, ? = O1Si в виде прямых стрелок. Таким образом абстрактное касательное пространство отождествляется с касательным пространством, имеющим геометрическое изображение.
