Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
= [u, ?ItJO0 + ошибки.
T
1— (члены вида i>P,HvM^wvBp)
5. Заметим, что если и и ? уменьшить в два раза, то [и, ?І уменьшится в четыре раза, тогда как члены, содержащие ошибки, уменьшатся в 8 раз. Таким образом, [u, y] в точности представляет разрыв кривой из четырех отрезков («четырехсторонника») в пределе, когда и и ? достаточно малы; т. е. Iu, ?]аа-мыкает четырехсторонник, ребрами которого являются векторные поля и и ?.
в искривленном
Б. Наглядное представление в отсутствие метрики и пространстве-времени с метрикой
1. Здесь должен быть такой же рисунок, как и выше, но мы теперь не осмеливаемся (по крайней мере вначале) отложить векторные поля в самом пространстве-времени. Вместо этого мы проводим два семейства кривых: кривые, для которых U (S5) является касательным вектором, и кривые, для которых ? (S5) является касательным вектором.
2. Разрыв S54 — S53 кривой, состоящей из четырех участков, можно охарактеризовать разностью /(S54)—/(S53) значений произвольной функции в точках S54 и S53. Эта разность в координатном базисе равна
/(S54)-Z(S53)= (/(S54)-Z(S51)] + [Z(^i)-Z(Po)] -
(1.aPa + /.арЛ>Р ) ( /.а»а+/,аЭ“““Р )
298 Дифференциальная топология
- ifm-fi^o)} - [/(^з)-/(^2)] =
— * v •
Uva+Y UpvaVfi) ^ (/,.»« +1 /.aPu“uP) ^
= [(/.0^).3 Wp — (/.aWa),p УР]^ + «КубиЧЄСКИЄ Ошибки» =
= [ (мРу“,р—уриа,р) df/dxa]^>Q + «кубические ошибки» в
= {[и» V![/IJj3O0+ «кубические ошибки».
Здесь «кубические ошибки» уменьшаются в 8 раз (тогда как [u, V] / уменьшается в 4 раза) при уменьшении и и у в два раза.
3. Результат
/ (S54) — / (Ss3) = {[и, V] [/]}^о0+«кубические ошибки»
гласит, что [и, V] представляет собой касательный вектор в Si0, описывающий, насколько разделены между собой точки Si^ и ITs4. Это описание можно сделать как угодно точным, если взять и и V достаточно малыми. Таким образом, [u, Vl замыкает четырехсторонник, ребрами которого являются проекции и и ? на прострапство-время.
В чем смысл рисунков
1. Рисунки не могут заменить вычисления. Они скорее помогают: а) предположить наличие геометрических соотношений, о существовании которых ранее не подозревалось и справедливость которых затем подтверждается вычислениями, и б) интерпретировать только что узнанные геометрические результаты.
2. Такая роль рисунков, как правило, не связанная непосредственно с вычислениями, позволяет нам рисовать их до некоторой степени небрежно. В пункте Б не было достигнуто существенно нового понимания по сравнению с пунктом А, несмотря на то, что мы тщательно размещали касательные векторы в соответствующих касательных пространствах, а в пространстве-времени оставили лишь кривые. Более того, первоначальный рисунок (пункт А) был понятнее, поскольку он гораздо проще.
3. Все это служит оправданием для использования «небрежных» рисунков, на которых касательные векторы изображаются в самом пространстве-времени, по крайней мере до тех пор, пока эти касательные векторы малы и время от времени производится контроль поведения ошибок при уменьшении векторов в два раза.
§ 9.7. МНОГООБРАЗИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ
Пространство-время — не единственная область, где можно применять понятия данной главы. Точки, кривые, векторы, 1-формы и тензоры существуют в любом «дифференцируемом многообразии». Использование их при изучении дифференцируемых много-
§ 9.7. Многообрааия и дифференциальная топология 299
2
образий составляет раздел математики, называемый дифференциальной топологией,— отсюда и название данной главы.
Математик обычно начинает построение дифференциальной топологии с введения некоторых простейших понятий, таких, как множества и топологии множеств; затем строит из них довольно сложную конструкцию, которую потом уже использует для определения понятия дифференцируемого многообразия. Ho большинство физиков удовлетворяются менее четким интуитивным определением многообразия: грубо говоря, и-мерное дифференцируемое многообразие представляет собой множество «точек», соединенных непрерывным и дифференцируемым образом, т. е. так, что в достаточно малой области эти точки можно поставить во взаимно однозначное соответствие с открытым множеством точек в Rn. [#п есть и-мерное числовое пространство, т. е. пространство упорядоченных совокупностей из п чисел (х1, X2, . . ., ж").] Это соответствие наделяет изучаемую окрестность системой координат.
Несколько примеров лучше передадут смысл этого понятия, чем приведенное определение. Однако простейшие примеры (эвклидово 3-пространство, поверхность сферы) вызывают в памяти слишком много геометрических представлений, относящихся к геометрии на более высокому ровне; поэтому мы вынуждены рассмотреть что-либо менее тривиальное. Пусть R3 — трехмерное числовое пространство с обычными для современного анализа понятиями непрерывности и дифференцируемости. Точками % в Ra являются тройки I = (I1, |2, I3) вещественных чисел. Назовем лучом в R3 полубесконечную линию, выходящую из начальной точки и состоящую из всех I вида | = Х,щ, где щ 0 фиксировано, а к > 0 — произвольное положительное вещественное число (фиг. 9.3). Множество S2 всех отдельных лучей представляет собой хороший пример дифференцируемого многообразия. Если / — функция, имеющая определенное вещественное значение / (З5) на каждом луче Sfi If записывается в виде S2^-R: Si-^f (<S^)], то интуитивно (или даже с очевидностью) должно быть ясно, что то, что мы имеем в виду, можно определить, сказав, что / непрерывна и дифференцируема. В этом смысле S2 само непрерывно и дифференцируемо. Таким образом, S2 является многообразием, а лучи & суть его точки. Есть много других многообразий, которые в рамках дифференциальной топологии неотличимы от S2. Простейшим из них является двумерная сферическая поверхность (2-сфера), которая играет роль стандартного представления .S2; она представляет собой множество точек | в R3, удовлетворяющих соотношению (I1)2 + (|2)2 + (I3)2 = 1. Ясно, что каждую точку этой стандартной двумерной сферической поверхности пересекает своя, отличная от других точка Sfi из S2 (луч в Rs) и что это соответствие является непрерывным и дифференцируемым в обе стороны (от лучей к точкам и от точек к лучам). То же самое справедливо для любой эллипсоидальной поверхности в R3,
