Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
« Определение» дифференцируемого многообрааия
Примеры
дифференцируемых многообразий
Многообразно S*
2
300 9' Дифференциальная топология
Маогообраііе
г*
Многообраме
но (S)
Irfnnua вращений)
ФПГ. 9.3.
Три различных представления дифференцируемого многообразия St. Первое есть множестно всех лучей, выходящих из одном начальной точки; второе — сфера, которую они пересекают; третье — замкнутая поверхность причудливой формы, которую каждый луч пересекает ровно один раз.
окружающей точку начала, а также и дли любой другой поверхности, окружающей начало, через каждую точку которой проходят разные лучи. Каждая из таких поверхностен охватывает одно н те же понятия глобальной непрерывности и дифференцируемости и представляет одно и то же абстрактное дифференцируемое многообразие Si — 2-сферу. Эти поверхности и пучок лучей, с которого мы начали, обладают на данном начальном уровне геометрии одними и теми же свойствами. Примером двумерного дифференцируемого многообразия, которое уже па этом уровпо имеет другую геометрическую структуру (другую «дифференцируемую структуру»), является тор Ti — поверхность бублика. Эту поверхность невозможно гладким образом погрузить в R9 так, чтобы каждую ее точку пересекал отдельный луч «Э5 ? .S’*: но существует обратимого и дифференцируемого соответствия между T1 и 5*.
Другим примером многообразия является группа вращений
SO (3), точками Ф которой являются все ортогональные матрицы З X 3 с детерминантом, равным единице, т. с. 9і = || /iI/||, где = 1 и det $* = 1. Это трехмерное пространство (в качестве параметров в вычислениях часто используются три угла Эйлера), в которо.м вводятся дифференциальные понятия (например, угловая скорость); следовательно, это — многообразие. Аналогично многообразием является и группа Лоренца.
Дифференцируемость многообразия (т. е. возможность определить на нем дифференцируемые функции) позволяет если не глобально, то хотя бы локально ввести системы координат, а также кривые, касательные пространства, касательные векторы, 1-фор-
§ 9.7. Многообразия и дифференциальная топология 301
2
мы и тензоры,— точно так же, как это было сделано в случае пространства-времени. Ho один только факт, что многообразие дифференцируемо, вовсе не означает, что в нем существуют такие понятия, как геодезические, параллельный перенос, кривизна, метрика и длина. Это дополнительные уровни структуры, которыми обладают некоторые многообразия, но не все. Грубо говоря, у каждого многообразия есть свойства гладкости и топология, но без дополнительной структуры оно не обладает ни формой, ни размерами.
Тот раздел математики, в котором многообразие наделяется геодезическими, параллельным переносом и кривизной (формой), называется аффинной геометрией; тот раздел, в котором многообразие наделяется метрикой, называется римановой геометрией. Их изучению посвящено несколько следующих глав.
Упражнения, посвященные изучению группы вращений
По мере того, как изложение дифференциальной геометрии в последующих главах будет все более и более усложняться, в упражнениях мы будем время от времени возвращаться к группе вращений как к примеру многообразия. Результаты, полученные в этих упражнениях, будут впоследствии использованы в дополнении 30.1. при рассмотрении «модели перемешанного мира», которая представляет собой особенно важный случай решения эйнштейновского уравнения поля.
Прежде чем приступать к этим упражнениям, у читателя может возникнуть желание просмотреть, как осуществляется параметризация матриц вращения с помощью углов Эйлера, что изложено, например, в книге [42].
9.13. Группа вращений: генераторы
Обозначим через Sf і три матрицы З X 3, элементы которых равны (Kt)mn = Blmn-
а. Выпишите матрицы ST1, (Sf1)2, (ST1)3 и (ST1)4.
б. Просуммируйте ряд
OO
Пх (0) a. exp (ST1O) <9’26>
п—О
Покажите, что (0) является матрицей вращения и осуществляет поворот на угол 0 вокруг оси х.
в. Подобным же образом покажите, что 92Х(Ф) = ехр (З?3ф) и (Z) = exP (Ж2%) являются матрицами вращения и осуществляют повороты на углы ф п % соответственно вокруг осей Z и у.
г. Объясните, почему выражение Si - %г (-ф) Жт (0) Я2(ф) может служить определением эйлеровых угловых координат if,
0, ф для элемента общего вида & ? SO (S) группы вращений.
д. Пусть ^ — кривая Si = (2), проходящая через единич-
Определенне аффинной > римановой геометрий
УПРАЖНЕНИЯ
2
УПРАЖНЕН И
302 5. Дифференциальная топология
ную матрицу (0) = ? SO (3). Покажите, что касательный
к ней вектор (dffi/dt) (0) s= % (0) не равен нулю. Для этого найдите
4S (0) /is, где /12 — функция /12 (Ss) = P12, значением которой является элемент матрицы Ss иод номером 12.
е. Определите на SO (3) векторное ноле е3, положив, что S3 (Ss) есть касательный вектор (при t = 0) к кривой % (t) = = %z(t) Ss, проходящей через Ss. Покажите, что е3 (Ss) нигде не обращается в нуль. Примечание. е3 (Ss) называется «генератором вращений вокруг оси г», поскольку он направлен из Ss в сторону соседних вращений fR z (J)Ss, отличающихся от Ss поворотом вокруг оси z.
