Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
S5 (X) = (Л, I, А,),
# (S) = (sin ?, cos С, ?),
S4 (р) = (sh р, ch р, р + P3).
а. Найдите (d/dX) /, (d/dt) f и (d/dp) f для функции / = х2 —
— у2 -{- Z2 в точке S50. 6. Найдите компоненты касательных векторов d/dX, d/dt, и d/dp в S50, воспользовавшись базисом {д/дх, д/ду, д/дг}.
9.4. Дополнительная практика операций с касательными векторами
Введем в трехмерном пространстве с координатами (х, у, z) поле
вектора V = у2 д/дх — х д/дг и функции / = ху, g = Z3. Найдите
а. ?[/], в. ?[/?], д. Vi/2+#2],
б. v[g], г. /?[?] — ??[/], е. V {V [/J>.
9.5. Наглядное представление координатного базиса 1-форм
Нарисуйте в касательном пространстве фиг. 9.1 базисные 1-формы dip и dx, определяемые системой координат i|),
9.6. Операции с дуальными базисами
В трехмерном пространстве в сферических координатах г, 0, ф часто вместо базиса д/дг, д/дО, д/дф используется базис д 1 д _ 15
§ 9.6. Коммутаторы и методы наглядного представления 293
2
а. Что собой представляет базис 1-форм {<ог , <ое , <оф}, дуальный к этому базису из касательных векторов? б. Нарисуйте па сфере г = 1 расположение базисов {д/дг, дід0, д/дф}, {е~, в^, в^},
{dr, d0, йф} и {юг, ю®, о)*}.
§ 9.6. КОММУТАТОРЫ И МЕТОДЫ НАГЛЯДНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Вектор U0, заданный лишь в одной точке Si0, позволяет найти производную U0I/] = диJ, которая представляет собой просто число, связанное с точкой Si0. Векторное поле и в отличие от U0 задает вектор U (Si), т. е. дифференциальный оператор д„(^е>), в каждой точке Si некоторой области пространства-времени. Векторное поле, действуя на функцию /, образует не отдельное число, а другую функцию и [/] = daf. Второе векторное поле ? может с таким же успехом подействовать па эту новую функцию, образовав при этом еще одну функцию
V {u lf]} = d,(d»f)-
Совпадает ли эта функция с результатом, который получится, если сначала подействовать полем V, а затем и? Другими словами, равен ли нулю «коммутатор»
[U, *][/]-и {?[/]}-V {и 1Л}- (9-19)
В простейшем частном случае, когда и и у являются базисными векторами системы координат u = д!дха, ? = д/дх&, коммутатор действительно равен нулю, поскольку частные производные всегда коммутируют:
Idldxa, д/дхЦ [/] = д2}1дх$ дха — д2Jldxa дх& = 0.
Ho в общем случае коммутатор отличен от нуля, в чем можно убедиться, проведя выкладки в координатном базисе:
[U, ?]/=«“ —(fP -?-)-Vа—(иР“Пг) = дха V дх& 1 [дха V Oxti /
= [ MaIzPct- У“иРа) ^p]/-
Отмстим, что коммутатор [и, ?], подобно самим ни у, есть векторное поле, т. е. линейный дифференциальный оператор, определенный в каждом событии:
[II, ?] = (U[fP] — ?[uP]) = (UaV^ _а—VaU^,а) . (9.20)
УПРАЖНЕНИЯ
Определенна
коммутатора
Коммутатор двух векторных полей есть векторное поле
2
294 Дифференциальная топология
Коммутатор в роли «замыкающ кривые»
Нулевой коммутатор: тест для координатных базисов
Определение
коммутационных
коэффициентов
Эти результаты должны быть известны из формализма квантовой теории, связанного с оператором момента импульса (упражнение 9.8).
Три аспекта геометрии — на чертежах, в абстрактном виде и в компонентах — позволяют с трех различных сторон подойти к понятию коммутатора.
1. Абстрактное выражение [u, V] наталкивает на мысль о тесной связи с квантовой теорией и вызывает в памяти развитые там многочисленные методы обращения с операторами. Напомним, однако, что операторы квантовой теории не обязательно должны быть дифференциальными операторами первого порядка. В обычном уравнении Шредингера кинетическая энергия представлена оператором второго, а потенциальная — оператором нулевого порядка. Векторами же являются лишь операторы первого порядка.
2. Выражение в компонентах uayp,<x — y“up.a, справедливое в произвольном координатном базисе, делает коммутатор доступным для применения мощных методов индексной техники.
3. Наглядное представление коммутатора [u, V] (дополнение 9.2) выявляет его фундаментальную роль как «замыкающего кривые»— роль, которая окажется важной при анализе кривизны в гл. И.
Коммутаторы находят применение, когда нужно провести различие между координатным {еа} = {д!дха} и некоординатным базисами. Поскольку частные производные всегда коммутируют между собой,
[Ba. ер] = Idfdaftt дIdxfi] = 0 (9.21)
в любом координатном базисе. И обратно, если задано поле базисных векторов («поле системы отсчета») {ea (5s)}, и мы не знаем, существует ли система координат (Xа (іЗ5)}, в которой {ea} = = {д/дх*}, то это можно узнать при помощи простого теста: находим (4 X 3)/2 = 6 коммутаторов Ierx, ер]; если все они равны нулю, то такая система координат существует. Если нет, то ее не существует. Короче, {ea (3s)} является базисом, определяемым системой координат, тогда и только тогда, когда fea, Єрі = О для всех ea w вр. (Доказательство см. в упражнении 9.9; одно из важнейших приложений см. в § 11.5.) Базисы, определяемые системой координат, иногда называют голономными. В «неголоном-ном базисе» (некоординатном базисе) вводятся коммутационные коэффициенты CliVa, определяемые выражением
