Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Iellf ev] = с^ва. (9.22)
Они входят в компонентное выражение для коммутатора произвольных векторных полей и и v:
[и, ?] = (и [ур] — ? [Wp] + Wt4IivCnvp) ер (9.23)
(см. упражнение 9.10).
§ 9.6. Коммутаторы и методы наглядного представления 295
IПредостережение\ Описывая функции и поля, математики и физики часто используют одни и те же символы, для обозначения понятий, которые противоречат друг другу. Физик может написать /, имея в виду длину какой-нибудь важной части конструируемого им прибора, а затем перейти к -С (T), когда ему нужно рассмотреть, как она реагирует на изменения температуры. Тогда / является числом, a S (T) — функцией. Математик же обозначит через / функцию, рассматривая ее как элемент какого-нибудь бесконечномерного пространства функций. Если у функции есть аргумент, то он напишет / (х), что является просто числом — значением / в точке х. Столкнувшись с этими прямо противоположными манерами выражаться физиков и математиков, авторы заняли колеблющуюся позицию. Обычно мы используем утверждения, принятые у физиков, например: «На кривой 3і (к) . . .». Читатель сам может перевести их на строгий математический язык: «Рассмотрим кривую S?, точки которой имеют вид Si — = % (к); на этой кривой ...». Ho время от времени читатель будет сталкиваться с абзацем, звучащим педантично и написанным на жаргоне, принятом в кругу математиков (пример: дополнение 23.3). В таких абзацах речь идет о понятиях и соотношениях столь сложных, что обычный для физиков способ выражаться крайне запутал бы ситуацию. К тому же они не позволят читателю настолько вжиться в физический жаргон, что для него станет неприемлемой математическая литература, которая благодаря последовательному использованию совершенно однозначных обозначений обладает огромными преимуществами ясности изложения и экономии мысли.]
9.7. Коммутаторы
Найдите коммутатор [eg, в-] векторных полей _ _±J_ „______1____д_
$ г 30 ’ Ф г sin 0 дф Выразите результат в виде линейной комбинации eg и еj.
9.8. Операторы момента импульса
В декартовых координатах трехмерного эвклидова пространства три «оператора момента импульса» (векторные поля) Ly определяются следующим образом:
Ij = Ejhi^ (д/дх1).
2
Сравнение обозначений, используемых физиками н математиками
УПРАЖНЕНИЯ
Изобразите эти три векторных поля на рисунке. Найдите их коммутаторы двумя путями: аналитически и с помощью чертежа.
2
296 9- Дифференциальная топология
УПРАЖНЕНИЯ
9.9. Коммутаторы и координатные базисы
Пусть и и ? — векторные поля в пространстве-времени. Покажите, что в некоторой окрестности произвольно выбранной точки система координат, для которой
U = дJdx1t ? = д/дх2,
существует тогда и только тогда, когда и и ? линейно независимы и коммутируют:
[U, ?] = 0.
Убедитесь сначала, что этот результат согласуется со вторым рисунком в дополнении 9.2, а затем докажите его математически. Примечание. Этот результат можно обобщить иа четыре произвольных векторных поля е0, Bi, в2, в3. Система координат, в которой в„ = д1дха, существует тогда и только тогда, когда в0, вц в2, вя линейно независимы и [вц, ev] = 0 для всех пар B11, вv.
9.10. Компоненты коммутатора в некоординатном базисе
Выведите соотношение (9.23).
9.11. Производная JIn
«Производная Ли» векторного поля ? (аР) вдоль векторного поля и (5s) определяется следующим образом:
L.? = [и, ?]. (9.24)
Нарисуйте на листе бумаги семейство кривых, заполняющих плоскость («конгруэнция»). В произвольной точке листа Si0 нарисуйте произвольный вектор ?. Перенесите этот вектор вдоль кривой, проходящей через ?74,,, с помощью закона переноса JIu LuY = 0, где и = dldt — касательный вектор кривой. Изобразите полученный в результате вектор ? в различных точках 5s (t) на кривой.
9.12. Тождество Якоби
а. Докажите тождество Якоби
[и, [?, w]]+[?, [w, u]] + [w, [u, ?]] = 0; (9.25)
для этого выпишите все члены вида дидчдщ, покажите, что они взаимно уничтожаются, и отсюда, используя симметрию, заключите, что все остальные члены, как, например, OyiOud1, также взаимно уничтожаются.
б. Выпишите это тождество в индексных обозначениях.
в. Дайте рисунок, соответствующий этому тождеству (CM. дополнение 9.2).
§ 9.6. Коммутаторы, и методы наглядного представления 297
2
Дополнение 9.2. КОММУТАТОР В КАЧЕСТВЕ ЗАМЫКАЮЩЕГО ЧЕТЫРЕХСТОРОННИКИ А. Наглядное представление в плоском пространстве-времени
1. Чтобы сразу же не перегружать воображение читателя, рассмотрим сначала плоское пространство-время, когда два векторных поля u (S5) и ? (S5) могут быть отложены в самом пространстве-времени.
2. Выберем событие S50, в котором надо найти коммутатор [и, V].
Обозначим события, изображенные
3.
4.
на рисунке, S51, S52, S53, S5,
Тогда вектор S54 — S53,
Зі " 4*
замыкающий изображенную кривую из четырех
отрезков, может быть следующим образом выражен в координатном базисе: S54- S53 = [u (S50) + ? (S51)I-IU (S52) + у (S50)] =
= [V (S5I) — ? (S50)] — [u (S52) — u (S50)] = (V^taUaBfi)^t>0— (UttaVaBfi)P0 + ошибки =
