Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 10.1. Геодезические и принцип эквивалентности 305
2
вдоль геодезических свободного падения, употребляется название аффинный параметр. Тогда соотношение 10.1 гласит, что «аффинный параметр геодезической единствен с точностью до линейных преобразований».
Априори аффинный параметр («время, отсчитываемое часами») вдоль геодезической не имеет ничего общего с метрикой. Он существует и в отсутствие метрики (например, в пространстве — времени Картана — Ньютона). Он позволяет сравнивать, насколько разделены события на геодезической (S& и Л «отстоят друг от друга в два раза дальше», чем J? и ($, если IX^q — Х^\ = = 2 [X^ — ^g]). Ho афинный параметр позволяет измерять относительное разделение событий лишь вдоль своей геодезической, и с его помощью невозможно выйти за пределы этой геодезической.
Описанные выше и другие характерные свойства геодезических представлены на фиг. 10.1 и в дополнении 10.1.
Дополнение 10.1. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ
Данная точка и данный касательный вектор определяют единственную аффинно параметризованную кривую («геодезическую»).
Геодезические в теории тяготения
Мировая линия нейтральной пробной частицы («геометрическая теория тяготения Эйнштейна», а также «геометрическая интерпретация Картана ньютоновской теории тяготения»):
1) «данная точка»: какое-либо событие на этой мировой линии;
2) «данный вектор»: вектор («смещение, соответствующее изменению параметра на единицу»), касательный к мировой линии в момент, определяе мый этим событием;
3) «единственная кривая»: все нейтральные пробные частицы с данным начальным положением и данной начальной скоростью движутся по одной и той же мировой линии в пространстве-времени независимо от их состава и независимо от их массы (малой — пробная масса!; «слабый принцип эквивалентности» Эйнштейна — Этвеша — Дикке);
4) «аффинный параметр»: в теории Картана — Ньютона — ньютоновское «мировое время» (измеряемое по «хорошим» часам); в реальном физическом мире — «собственное время» (измеряемое по «хорошим» часам) вдоль времениподобной геодезической;
5) «параметризованная кривая»: а) аффинный параметр единствен с точностью до преобразований вида X аХ + Ъ, где а и Ъ — постоянные (на данной геодезической имеется произвол лишь в выборе точек с нулевым и единичным значениями параметра); или, что эквивалентно, б) по трем произвольным событиям Jt, 3S, cS на геодезической можно с помощью четко определенной физической процедуры («хронометрирова-
Определение аффинного параметра как времени, отстаты ваемого часами вдоль траектории свободного падения
20-01457
2
306' 10. Аффинная геометрия
ния») найти единственное четвертое событие 3) на геодезической, такое, что (Xgj— Х<^) равно (Х& — Х^)\ или, что эквивалентно, в) [дифференциальная формулировка] по заданному в точке А касательному вектору с компонентами (dzaldX)^ можно с помощью физической процедуры (опять «хронометрирования») построить «тот же самый касательный вектор» в точке *6, компоненты которого (dxaldX)<? определяются однозначным образом (векторы «равны»; компоненты же, как правило, не равны, из-за кручения и вращения произвольных базисных векторов между ^ и ^).
§ 10.2. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И КОВАРИАНТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ: НАГЛЯДНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Сравнение
векторов
в различных
событиях
е помощью
параллельного
переноса
Два пробных тела, первоначально падавших в пространстве-времени по двум соседним параллельным геодезическим, благодаря действию приливных сил тяготения (кривизны пространства-вре-мени) начинают сближаться или удаляться по отношению друг к другу. Чтобы описать это утверждение количественно, мы должны количественно описать понятия «параллельности» и «ускорения по отношению друг к другу». Начнем с понятия пар аллел ьности.
Рассмотрим два соседних события А и &?, соединенных кривой Si (X). Вектор расположен в касательном пространстве события А, а вектор Vjj — в касательном пространстве события SS. Как можно сказать, параллельны ли и Vjj, и каким образом можно сравнить их длины? Ответ дает принцип эквивалентности: пусть в пространстве-времени вдоль мировой линии <9* (X) движется наблюдатель (используя ракетную тягу). Он несет с собой вектор и с помощью эталонов плоского пространства Ньютона или Минковского следит за тем, чтобы этот вектор по пути не менялся (согласно принципу эквивалентности, локально справедлива физика плоского пространства!). Прибыв в событие 38 наблюдатель сравнивает свой, «перенесенный параллельно», вектор с вектором Vj). Если они совпадают, то исходный вектор (по определению) параллелен Vt^, и они имеют одну и ту же длину. (Если нет метрики, то невозможно количественно описать понятие длины; тем не менее параллельный перенос позволяет сравнивать длины!)
Принцип эквивалентности вошел в данное рассуждение, возможно, несколько необычным образом: он был применен не к свободно падающему наблюдателю, а к наблюдателю, который может испытывать ускорение. Ho от фундаментального принципа нельзя избавиться, придумав замысловатый способ его применения. (Сложные вечные двигатели так же не могут существо-
