Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
для тензорного поля S ранга (*) получаем
VS имеет компоненты Sapv в = —jr [<Sapvl-
дх
В искривленном пространстве-времени или даже в нелоренцевом базисе плоского пространства-времени это не так. Здесь базисные векторы поворачиваются, закручиваются, растягиваются и сжимаются, поэтому даже если бы S был постоянен (VS = 0), его компоненты в закручивающемся базисе изменялись бы. Коэффициенты связности, будучи правильно употреблены, позволяют скомпенсировать эти повороты и кручение. Как мы узнаем из упражнения 10.10, компоненты ?aev;e тензора VS, для которых
VS = SaPvaea ® *>f>®<i>v®<oe, (10.17)
могут быть найдены из компонент S обычным способом, используемым в плоском пространстве, прибавив поправки, которые надо сделать для каждого индекса (т. е. для каждого базисного вектора):
§ 10.4. Ковариантная производная: компонентное представл. 321
« + », если поправка делается для «верхнего» индекса
ГҐ
замена индекса, для которого делается поправка, и суммирование по нему
і—[индекс дифференцирования
Safiyl6 = Safiy- 6 +S11fiyTail6- S0W -S0WrV (!0.18) J_______________________________t t
« —», если поправка делается для «нижнего» индекса
замена индекса, для которого I делается поправка, и сумми-1 роваиие по нему J
индекс дифференцирования
Здесь
-S0bPv. в = *61-S0bPv] = дв.Safiy.
(10.19)
2
Соотношение (10.18) имеет сложный вид, по на самом деле оно оказывается очень простым, если разобраться в схеме.
Точно так же, как для компонент VS используется специаль-ное обозначение S0Vv; 6, так и для компонент ковариантной про- ^^“^“йиоля изводной VuS вдоль u = d/dX вводится специальное обозначение DSafivIdX:
dX
VuS = (DSafivIdX) ва ® ®
: S“pV; 6и6 = (Safiy, в + поправочные члены) и6.
(10.20)
Поскольку для любой /
это сводится к
DSafiy dSa
Pv
d,X
dX
/, 6и6 = duf = df/dX,
S11fiy^bU6-SailyT11fieiU6-SafiilTily6U6. (10.21)
Возможности компонентного представления хорошо проявляются при нахождении ковариантной производной от произведения. Большое число различных правил дифференцирования произведений в абстрактном представлении [соотношения (10.26),
(10.7), (10.10), (40.11)1 при переходе к компонентам сливаются в одно правило: Оператор градиента «;» подчиняется хорошо правило
известному правилу дифференцирования произведений, которому градиента подчиняются частные производные обычного дифференциального проиаведения
21-01457
2
322 10. Аффинная геометрия
УПРАЖНЕНИЯ
исчисления. Пример:
(M): и = /: + Zy0t; и (10.22а)
Г = /, И* поскольку у / нет индексов,
[ для которых надо делать поправку
(свертывая это выражение с и*1, получаем правило 10.26). Другой пример:
(OaVa)- ц = Ga; цУ“ + ц (10.226)
Г = (0ау“) Ji, поскольку у OaVa нет свободных LnweKCOB, для которых надо делать поправку
(свертывая это выражение с и*1, получаем правило 10.7). Третий пример:
(0ep3t;v); ц == Oa- np3i;V Jr Оарр; + Gap3i;V; ц (10.22в)
(свертывая это выражение с ц*4, получаем правило 10.11). Еще один пример приведен в упражнении (10.12).
10.7. Вычисление коэффициентов связности
Выведите из (10.13) выражение (10.14) для Г>*ае.
10.8. Связность базиса 1-форм
Из соотношения (10.14) выведите соотношения (10.15) и (10.16), которые устанавливают связь Vgtov с Tva3. Указание. Используйте соотношение (10.7).
10.9. Симметрия коэффициентов связности
Покажите, что симметрия ковариантной производной в пространстве-времени [соотношение (10.2а)] эквивалентна следующему условию симметрии для коэффициентов связности:
(антисимметричная часть T11a3) = -у (Г^р — Г%а) ав
= Г%0] = -І- («Л [Ba1J3]) s -± Caf. (10.23)
коммутатор базисных векторов]--------1
В частном случае координатного базиса (ва = д/дх?) коэффициенты T11aP симметричны no а и р. Покажите, что благодаря
§ 10.4. Ковариантная проивводная: компонентное представ,л. 323
2
этой симметрии число независимых коэффициентов связности в каждом событии в координатном базисе уменьшается от 4 X 4 X X 4 = 64 до 4 х 10 = 40.
10.10. Компоненты градиента
Выведите выражение (10.18) для компонент градиента SoePv^. Указание. Разложите S по данному базису и вычислите правую часть соотношения
VuS = Vu (S“pvea ® ®Р ® ®v)
при произвольном векторе и. Воспользуйтесь правилами (10.26) и (10.11). Сравнив результат с
VuS = Sapv: eu6eо ® ®
выпишите компоненты SaPv; 6-
10.11. Дивергенция
Пусть T — поле тензора ранга Определим дивергенцию по его
второму каналу таким же образом, как это было сделано в плоском пространстве-времени: V-T = свертка VT, т. е.
(V-T)0Wap; р. (10.24)
Запишите выражения для компонент Tafilв через Tafii0 и поправочные члены для каждого из двух индексов Т. [Ответ:
Т*»; р = у*# р + + Г^рГ41.]
10*12. Проверка правила дифференцирования произведения
Пусть Sa^v — компоненты поля тензора ранга а MBV — компоненты поля тензора ранга (Jj. Свертывая эти тензорные поля,
получаем векторное поле SePvAfBT. Правило дифференцирования произведения для дивергенции этого векторного поля имеет вид
