Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 10.2. Ковариантная производная: наглядное представление 307
2
вать, как и простые!) Принцип эквивалентности утверждает, что ни одно локальное измерение, не чувствительное к приливным силам тяготения, не позволит обнаружить какое-либо различие между плоским и кривым пространством-временем. Пусть в распоряжении штурмана космического корабля имеется инерционная система управления (акселерометры, гироскопы, вычислительные машины), способная сохранять инерциальную систему отсчета в плоском пространстве-времени; в плоском пространстве-времени с ее помощью можно рассчитать положение и скорость любого объекта в космическом корабле по отношению к данной инер-циальной системе отсчета. Вычислительная машина системы управления может быть по желанию запрограммирована либо согласно законам ньютоновской механики в отсутствие тяготения, либо согласно законам специальной теории относительности. Воспользуемся теперь той же системой управления (включая ту же программу для вычислительной машины) в искривленном пространстве-времени. Вектор переносится параллельно, если, согласно показаниям вычислительной машины системы управления, он не меняется.
Будет ли результат определенного таким образом переноса зависеть от кривой, соединяющей события Л и SS ? В пространстве-времени бее тяготения безусловно нет, поскольку это одно из основных условий, выполнения которых заказчик инерционной системы управления вправе потребовать от изготовителя. Ho в искривленном пространстве-времени ответ будет «Да!» Если совпадает с ЧД после параллельного переноса вдоль одной кривой, то они вовсе не обязаны совпадать после параллельного переноса вдоль другой кривой. Причиной расхождения является кривизна пространства-времени. Однако мы не готовы к изучению и количественному описанию этих расхождений (гл. 11), пока не создан математический формализм для описания параллельного переноса, что в свою очередь не может быть сделано, пока мы не уточнили «эталоны плоского пространства-времени для сохранения вектора неизменным» в процессе переноса вдоль кривой.
Уточнению эталонов плоского пространства-времени посвящено дополнение 10.2. Такое уточнение приводит 1) к построению «лестницы Шилда», позволяющему осуществить параллельный перенос; 2) к понятию «ковариантной производной» Vuv векторного поля V вдоль кривой с касательным вектором и; 3) к «уравнению движения» V11U = 0 для геодезической, согласно которому «касательный вектор геодезической переносится параллельно вдоль геодезической», и 4) к установлению связи между касательными пространствами соседних событий (фиг. 10.2).
Определение
параллельного
переноса
при помощи
инерционной
системы
управления
я нринципа
эквивалентности
Ревультат
параллельного
переноса
ва внснт от нутн
Осуществление
параллельного
переноса
с помощью
лестницы
Шилда;
следствия,
которые из нее
вытекают
20*
308 М. Аффинная геометрия
ФИГ. 10.2.
Связь между касательными пространствами в соседних точках, ставшая возможной благодаря закону параллельного переноса. В событии выбираем касательные векторы B1 и е2. Переносим их параллельно в соседнее событие ?&. (На фигуре изображена лестница Шилда для переноса B1.) Тогда любой другой вектор V, будучи перенесен параллельно из и J1 будет в обоих событиях иметь одни и те же компоненты (параллельный перенос не может разомкнуть треугольник; см. дополнение 10.2):
Таким образом, параллельный перенос устанавливает единственное и полное соответствие между касательным пространсівом в .4 и касательным пространством в С каждым вектором из .4 он отождествляет единственный вектор в М, сохраняя при этом все алгебраические соотношения. Подобным же образом (см. § 10.3) он с каждой 1-формой из Jf отождествляет единственную 1-форму в ,58, с каждым тензором из <4 — единственный тензор в сохраняя при этом все алгебраические соотношения типа (a, v) = = 19,9 и S (а, », W) = 37,1.
В действительности все это справедливо лишь в пределе, когда <4 и ЗА бесконечно близки друг к другу. Когда JfnSS близки, но не бесконечно близки, результаты параллельного переноса по различным кривым слегка отличаются друг от друга; поэтому соответствие между касательными пространствами до некоторой степени не единственно. Ho каждый раз, когда расстояние по аффинному параметру между .4 и ,38 уменьшается вдвое, это различие уменьшается в 4 раза; см. гл. 11.
____[те же числа, что ив ^
I—[параллельно перенесены из <4 в
§ 10.2. Ковариантная производная: наглядное представление 309
2
Дополнение 10.2. ОТ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ К ПАРАЛЛЕЛЬНОМУ ПЕРЕНОСУ,
ОТ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСА К КОВАРИАНТНОМУ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЮ,
ОТ КОВАРИАНТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ К ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ, ...
А. Параллельный перенос, определяемый с помощью геодезических
Перенесем произвольный, достаточно короткий участок кривой ЛХ (т. е. произвольный касательный вектор) параллельно самому себе вдоль кривой JlSS в точку 95, поступив следующим образом:
1. Возьмем какую-нибудь точку о/К на JtSS, расположенную вблизи^. Черев X и <М проведем геодезическую XoM. Выберем некоторую аффинную пара-
