Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
VS (a, V, w, u) = (VuS) (a, v, w) =
= Vu [S (а, у, w)] = ди [S (о, у, W)]. (10.8)
10.8. Ковариантная производная: абстрактный подход 315
2
10.1. Аддитивность ковариантного дифференцирования
Покажите, что коммутатор («замыкающий четырехсторонники») аддитивен:
[u, v + w] = [u, V] +lu, w]; [u + n, v] = [u, v] + [n, v].
Воспользовавшись этим результатом, условием аддитивности Vu (V + w) = VuV + VuW и симметрией ковариантной производной VuV — V»u=[u,v], докажите, что
V„+11v = VuV + VnV.
10.2. Ковариантное дифференцирование произведения
Покажите с помощью рисунков и определения V11V1 использующего «нахождение разности и переход к пределу» (дополнение 10.2), что
Vu(/v) = /V„v + v<U/]. (10.9)
10.3. Еще раз ковариантное дифференцирование произведения
Выведите соотношение (10.7), используя определения производных с помощью «нахождения разности и перехода к пределу». Указание. Перед тем как находить разность, перенесите параллельно а [сР (А,)] и V [<іР (А,)] назад из & (X) в <9* (0).
10.4. Ковариантное дифференцирование еще одного произведения
Покажите, что как в плоском пространстве-времени, так и в искривленном пространстве-времени
Vu (V <g> w) = (VuV) ® w +V ® (VuW). (10.10)
Запишите это соотношение в более привычной компонентной форме для случая плоского пространства-времени.
Решение первой части упражнения. Возьмем 1-формы аир в интересующем нас событии ?Р0 и переместим их с помощью параллельного переноса вдоль вектора U = d/dX, VuP = VuO = O. Тогда
I Vu (v® w)] (р, a) =-Jj- [(V® w) (р, а)] (определение действия Vи
на тензор)
= [<р, V) (о, w>] (определение тензорного произведения «®»)
= (a, w) + (р, V) (правило дифференцирования
произведения)
УПРАЖНЕНИЯ
2
316 10. Аффинная геометрия
упражнения =<р, VuV) (о, w) +<р, V)(o, VuW) (соотношение (10.7)
при постоянных р, о)
= [(VuV) <8 W] (р, о) + [V ® (VuW)I (р, о) (определение тензорного
произведения «®»).
10.5. И еще раз ковариантное дифференцирование произведения
Покажите, воспользовавшись методом, подобным примененному в упражнении 10.4, что
Vb (о ® P <8 V) = (VbO) ® P ® V +а ® (VbP) <8 v +
+ а ® р ® (V0V). (10.11)
10.6. Уравнение геодезических
Используя для параллельного переноса процедуру построения «лестницы Шилда» (начало дополнения 10.2), покажите, что касательный вектор геодезической переносится параллельным образом вдоль своей геодезической (конец дополнения 10.2).
Дополнение 10.3. КОВАРИАНТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ, ТРАКТУЕМАЯ КАК МАШИНА,
А КОЭФФИЦИЕНТЫ СВЯЗНОСТИ — КАК ЕЕ КОМПОНЕНТЫ
А. Представление в виде машины
1. Оператор ковариантной производной V, подобно большинству других геометрических объектов, можно рассматривать как машину с входными каналами. В каждом событии пространства-времени существует одна такая машина. Интерпретация V в виде машины в Qfi0 сводится к следующему:
V (a, и) = (о, VuV).
T
Первый канал; в него вводится 1-форма о, принадлежащая касательному пространству в Si0
торой канал; в него вводится векторное поле
V (3і), определенное в окрестности Sia
t
ретии канал; в него вводится вектор и, принадлежащий касательному пространству в IP0
Новый вектор; «ковариантная производная векторного поля
V по отношению К и»
(Примечание. От этих обозначений для каналов V мало пользы, за исключением разве лишь того, что они позволяют лучше выразить «машинную» природу V. Данное дополнение — единственное место, где они используются.)
§ 10.3. Ковариантная производная: абстрактный подход 317
2
2. Результат на выходе машины (о, V0V > геометрически получается следующим образом:
а. Найдем скорость изменения V вдоль вектора u, Vuv; если и и v бесконечно малы, то эту процедуру можно изобразить на чертеже.
б. Подсчитаем, сколько поверхностей 1-формы а пересекает вектор VuV (пересечение происходит в касательном пространстве события ^0):
Это число появляется на выходе машины V, когда в ее каналы вводятся a, v (5s)
И U.
3. Другой эквивалентный способ представления ковариантной производной в виде машины. Оставим первый входной канал пустым (не будем привлекать никакой 1-формы о); образуем из исходного векторного поля V новое векторное поле:
V (..., V (5s), u) = VuV = «ковариантная производная векторного поля
4. Третий способ представления в виде машины. Оставим первый и третий каналы пустыми (не будем привлекать никакой 1-формы а; не будем привлекать никакого вектора U, вдоль которого выполняется дифференцирование); образуем
V11V- вектор, принадхежшциВ касательному пространству fc У0
\ Положительное ч направление *
7 \
(a, VuV)= —2,8.
V вдоль вектора и».
пустой
из исходного векторного поля V поле тензора ранга
V (.. •, V (5s), ...)sV» = «ковариантная производная», или
«градиент» векторного поля V.
пустой пустой
2
318 М. Аффинная геометрия
Это тензорное поле Vv является обобщением на случай искривленного пространства-времени тензорного поля Vv, введенного в плоском пространстве-времени и изученного в § 3.5. Оно обладает двумя входными каналами (как раз теми, которые в данном определении оставлены пустыми). На выходе при заданных входных данных получаем
