Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
ж. Покажите, что е3 = (d/drf)e*.
з. Выведите следующие формулы, справедливые при t 1:
(<)»* (Ц)Ях(в)Я*(Ф) =
= СФ — t sin 1I3 6) 5?* (6 +1 cos if) ’ІЇг (ф -(-1 sin of/sin 0);
#,(*)»* №)®x(0) »,(*) =
= (of + J cos of ctg 0) (0 -\-t sin of) 92z (ф — t ctg of/sin 0).
и. Положите no определению, что Bi(Ss) и B2(Ss)—касательные векторы (при t = 0) К кривым ^ \t) = (t) аР И «40 =
= fly (<) Ss соответственно. Покажите, что
, д •,/ і а д 1 д \
B1 = COS Tfw-Sin of (ctg©^-^-^),
B2 = SinTf ^+COSTf (ctg0^—JLj -jL).
S1 и в., являются «генераторами вращения вокруг осей х и у».
9.14. Группа вращений: структурные константы
Воспользуйтесь в качестве базисных векторов в многообразии группы вращений тремя векторными полями, построенными в предыдущем упражнении:
Є, = COS Tf А - Sin Tf ( сtg 0 А - -Л- ) ,
B2 = SinTf JL-COSTf (ctg0-A__l_-^_) , (9.27)
д
Эти уравпепия выражают данный «базис генераторов» через базис, определяемый углами Эйлера. Покажите, что коммутационные коэффициенты в этом базисе имеют вид
Са(7 = e“Pv (9.28)
независимо от того, где расположен элемент Ss группы вращений. Эти коэффициенты называются также структурными константами группы вращений.
2
10. АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ: ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И КОВАРИАНТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ
Достаточно одного принципа относительности Галилея, чтобы убедительно доказать аффинный характер нашего мира.
ГЕРМАН ВЕЙЛЬ
Эта глава целиком относится к курсу 2.
Необходимым подготовительным материалом для нее является гл. 9.
Она нужна в качестве подготовительного материала для
1) гл. 11—13 (дифференциальная геометрия, ньютоновская теория тяготения),
2) второй половины гл. 14 (вычисление кривизны) и
3) подробностей, но не идеи, гл. 15 (тождества Бианки).
§ 10.1. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ И ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Свободное падение является «естественным состоянием движения», настолько естественным, что нейтральное пробное тело в состоянии свободного падения описывает в пространстве-времени траекторию, которая не зависит ни от строения тела, ни от его состава («слабый принцип эквивалентности» Эйнштейна, Этвеша, Дикке: см. дополнение 1.2 и § 38.3).
Представим себе, что пространство-время заполнено всевозможными траекториями свободного падения. Выберем событие. Выберем в нем скорость. Они определят единственную траекторию.
Будем более точными. Зададимся целью, извлечь максимальное количество информации, которое содержит каждая траектория. Является ли она просто последовательностью точек, по которой пробное тело осуществляет свободное падение? Нет, она есть нечто большее. Каждое пробное тело может нести на себе часы (часы одного и того же вида, «хорошие» в смысле фиг. 1.9, т. е. не зависящие от строения или состава тела). В процессе движения тела часы идут и помечают каждое событие на его траектории числом — моментом времени X, в который тело там находилось. Результат: траектория свободного падения — не про-
Частицы в свободном паденнн в их часы
304 10. Аффинная геометрия
ФИГ. 10.1
Геодезическая, трактуемая как правило «прямолинейного параллельного переноса». Выберем событие .rP0 и в нем касательный вектор u = й/б&.^Пост-роим единственную геодезическую 3d (Я), которая 1) проходит через ^0: JP(O) = ^00 и 2) касательным вектором к которой в .P0 является u: (d.Pldk)y_0 = =U. Эту геодезическую можно считать правилом, согласно которому мы берем Ii пз (0) и откладываем его от его предыдущего острия .P (1) как можно более прямо:
uK=I №3°/dX)^=l; затем берем его снова и откладываем как можно более прямо от @ (2):
иЯ=2 = ^3° /dk)^=2
п т. д. Эта последовательность «как можно более прямолинейных» переносов «от основания к острию» поясняет смысл того, что (d3°ldk)^_^и U= —(dlP/dX)x_,0 можно считать «одним и тем же вектором» в различных точках на геодезической; или, что эквивалентно, один из них получен из другого «прямолинейным параллельным переносом».
Определение геодезической как траектории свободного падения
сто последовательность точек; это параметризованная последовательность, кривая 3і (X).
Одназначна ли такая параметризация? He совсем. Совершенно произвольно могут быть выбраны 1) начало отсчета времени <9* (0) и 2) единицы (сантиметры, секунды, фарлонги, ...), в которых часы отмеряют время к. Следовательно, к однозначно лишь с точностью до линейных преобразований:
^новое = й^-старое (10.1)
b («новое начало отсчета времени») есть число, которое не зависит от положения на данной траектории свободного падения, то же самое справедливо и для а («отношение новых единиц к старым»).
В искривленном пространстве-времени Эйнштейна (а также в пространстве-времени Картапа — Ньютона, гл. 12) эти параметризованные траектории свободного падения являются самыми прямыми из всех возможных кривых. Поэтому этим траекториям дается то же название геодезические, которое математики употребляют для прямых линий в искривленном многообразии; так же, как это принято у математиков, для параметра к, отсчитываемого
