Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
/U = d/dX есть касательный\ _. ( кривая есть \
У, вектор кривой в V0U = Oj \ геодезическаяJ'
Таким образом, круг замкнулся: от геодезической к параллельному переносу, от параллельного переноса к ковариантной производной, от ковариантной производной к геодезической.
§ 10.3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И КОВАРИАНТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ: АБСТРАКТНЫЙ ПОДХОД
Построение «лестницы Шилда», описанное в дополнении 10.2, позволяет выявить следующие свойства ковариантной производной в пространстве-времени:
ковариантная Симметрия:
производная: Г
основные евой- V0V-V»u = [u, v], (10.2а)
где U в V — произвольные векторные ПОЛЯ.
§ 10.3. Ковариантная производная: абстрактный подход 313
2
Дифференцирование произведения:
Vu (/V) =/VuV+ Vd11/, (10.26)
где/ — произвольная функция, V — произвольное векторное поле, U — произвольный вектор.
А ддитивностъ:
Vu (V + W) = V0V+ VuW1 (10.2в)
где VhW — произвольные векторные поля, U — произвольный вектор:
Vau+b.V = aV.V + ftV.?, (10.2г)
где V — произвольное векторное поле, иип — произвольные векторы или векторные поля, а и Ъ — произвольные числа или
функции.
Любое травило» V для образования новых векторных полей из старых, удовлетворяющее этим четырем условиям, в дифференциальной геометрии называется симметричной ковариантной производной. Такое правило не вытекает из более простых понятий (гл. 9) кривых, векторов, тензоров и т. д. В пространственно-временной лаборатории существует столько же способов определения правила вычисления ковариантной производной V, сколько существует различных способов размещения источников гравитационного поля. Различные распределения масс приводят к различным траекториям свободного падения (геодезическим).
Если в пространстве-времени или в другом каком-либо многообразии заданы геодезические, то с помощью лестницы Шилда (см. дополнение 10.2) можно построить единственный соответствующий им оператор ковариантной производной. Если задана какая-либо ковариантная производная, то можно ввести параллельный перенос с помощью уравнения dv/dA, = VuV = 0 •<=> векторное поле v переносится
параллельно вдоль вектора u — djdX (10.3)
и можно узнать, является ли произвольная данная кривая геодезической:
VuU = 0 касательный вектор u = d/dX кривой 3 (X)
переносится параллельно вдоль этой кривой, (10.4)
V0U = 0 <=> кривая (А,) есть геодезическая.
Таким образом, знание всех геодезических полностью эквивалентно умению вычислять ковариантную производную.
Ковариантная производная V является обобщением на случай искривленного пространства-времени понятия градиента V в плоском пространстве. Подобно своему аналогу в плоском пространстве, ее можно трактовать как машину, производящую число (о, VuV) из 1-формы а, вектора и и векторного поля V. Эта точка зрения исследуется в дополнении 10.3. Отметим важный факт:
Уравнение
параллельного
переноса
Знание всех
геодезических
эквивалентно
умению
вычислять
ковариантную
производную
Ковариантная
производная
является
обобщением
градиента
в плоском
пространстве
2
314 10. Аффинная геометрия
Дейотвяе ковариантной производной на функции, 1-формы > теиворы
несмотря на то что ковариантную производную можно трактовать как машину, V не есть тензор; это нетензорный геометрический объект.
В искривленном пространстве-времени, так же как и в плоском, оператор V можно применять не только к векторным полям, HO и к функциям, к полям 1-форм, к тензорным полям. Его действие на функции определяется очевидным образом:
V/ = d/; Vu/ = du/ = u [/I = (d/. и>. (10.5)
Его действие на поля 1-форм и на тензорные поля определяется путем обобщения на случай искривленного пространства-времени соотношения (3.39): VS есть линейная машина для нахождения изменения от точки к точке выходных данных S, когда в его каналы введены «постоянные» (т. е. переносимые параллельно)
векторы. Пример: градиент тензора ранга т. е. поля 1-формы а.
Выберем событие Ss0; в касательном пространстве события Ss0 возьмем два вектора и и V; с помощью параллельного переноса вдоль направления вектора U построим из V «постоянное» векторное поле V (Ss), VuV = 0. Тогда Vo есть тензор ранга ^)*
a VuO есть тензор ранга определяемые в Ss0 соотношениями
Va (v, u) = (VuO, v> = Vu «a, v>) =-357<«. v>, (10.6)
где u = d/dk. Данные соотношения определяют как VuO, так и V0I поскольку они задают числа на выходе этих тензоров для любых векторов V и и на входе. Если на v (Ss) не накладывается условие «постоянства» вдоль u = d/dX, то в (d/dX)(a, у) дает вклад как изменение V, так и изменение а:
-Jj- (а, V) = Vu (а, V) = (Vuо, v> + <а, VbV) (10.7)
(см. упражнение 10.3).
Аналогично, если S есть тензор ранга ( * ) > т0 его градиент
VS есть тензор ранга ( g ) , определяемый следующим образом.
Выберем событие S50; в касательном пространстве события Ss0 возьмем три вектора u, V, W и 1-форму а; с помощью параллельного переноса образуем вблизи S50 из v, W и о «постоянные» векторные ПОЛЯ И «постоянное» поле 1-формы (VuV = VuW = VuO = O в S50); затем полагаем по определению
