Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
метризацию X кривой XaM и найдем единственную точку Jff', удовлетворяющую условию Xjr = 1I2 (?; + ^?) («равные промежутки времени вдоль XJT и ЛГЛъ).
2. Проведем геодезическую, которая берет начало в Л и проходит через JTy и продлим ее до точки ® так, чтобы приращения параметра на ЛJT и были равны.
3. Кривая e/fCffi дает вектор ЛХ, перенесенный параллельно самому себе из Л в еМ (при достаточно коротких JlX и Л<М). Данное построение
безусловно, дает параллельный перенос в плоском пространстве-времени (ньютоновском или эйнштейновском). Более того, оно локально (векторы ЛХ, ЛеМ и т. п. очень коротки). Следовательно, оно должно работать и в искривленном пространстве-времени. (В нем находит свое выражение принцип эквивалентности.)
2
310 10- Аффинная геометрия
/у
%
Повторив эту процедуру еще и еще раз, получим в конце концов участок кривой RS Л2С, перенесенный параллельно самому
себе из Jt и SB. Назовем это построение «лестницей Шилда», следуя аналогичному построению, выполненному Шилдом Лестница Шилда [147] (см. также [148]). Отметим, что кривая
йе обязательно должна быть геодезической. He требуется, чтобы было прямолинейным продолжением Jt<M подобно тому, как JTSi должно быть прямолинейным продолжением JtJit.
5. Результат параллельного переноса JtSt из Jt в 38 зависит от выбранной мировой линии JtdS («проявление кривизны пространства-времени»).
Б. Ковариантное дифференцирование, определяемое с помощью параллельного переноса
Зададимся целью узнать, насколько быстро векторное поле V изменяется вдоль кривой с касательным вектором u = d/dX. Ответ dv/dX = VuV = «скорость изменения V по отношению к А,» == «ковариантная производная V вдоль и» полу-
/X*
//Jb %
чается из следующей очевидной процедуры: 1. Берем V в точке A, = A0 + е. 2. Переносим его параллельно назад в точку А = A0. 3. Находим, насколько он отличается от V в этой точке 4. Результат делим на є (и переходим к пределу 8 0):
^ У / [V (Ар+в)!перенесенный параллельно в \д * (^о) \
“ 8-0 6 J
Если u = d/dX мал по сравнению с характерным масштабом неоднородности векторного поля V, ТО VnV можно находить прямо из фиг. I, или с тем же успехом, И8 фиг. II.
§ 10.2. Ковариантная производная: наглядное представление 311
2
В. «Симметрия» ковариантного дифференцирования
Рассмотрим два векторных поля. Объединим два рисунка для VuV и V»u в один. Из него находим, что VuV — V,U есть вектор, замыкающий четырехсторонник
V — и — V — и, т. е. (см. дополнение 9.2) он является коммутатором [u, V]:
VllV-ViU = [и, V].
Терминология: оператор V называется симметричной («без кручения») кова-риантной производной, если VuV —
— V,u=[u, vl. Другие виды ковариант-ных производных, изучаемых математиками, не имеют отношения ни к одной теории тяготения, основанной на принципе эквивалентности. V(V
Г. Ковариантное дифференцирование произведений
Нахождение разности и переход к пределу в процедуре, использованной для определения VuV, обеспечивают выполнение обычного правила для дифференцирования произведений:
V0 (/V) =/V„v+(u [/])v
Tt T _____11____ T
скалярное векторное «производная / вдоль и»; поле поле в первой и второй частях книги обозначалась д„/; если U = d/dX, то она равна df/dX; иногда обозначается Vu/
(доказательство см. в упражнении 10.2).
Д. Аддитивность ковариантного дифференцирования
В реальном физическом мире, будь то ньютоновский или релятивистский, параллельный перенос не может разомкнуть треугольник: 1) пусть А, В, С вначале таковы, что A -J- В = С; 2) пусть далее свободно падающий (инерциальный) наблюдатель переносит А, В, С параллельным образом; 3) тогда все время выполняется А -J- В = С. Любой другой результат нарушил бы принцип эквивалентности!
1. Следствием этого (в чем можно убедиться, просмотрев определение ковариантной производной и заметив, что любой вектор U можно рас-
2
312 10. Аффцнная геометрия
сматривать как касательный вектор к мировой линии свободного падения) является
V11 (v + w) = Vu V + VbW
для любого вектора и и векторных полей VhW.
2. Отсюда, учтя симметрию ковариантной производной и аддитивность «замыкающего четырехсторонники» [и, V], можно получить
V„+„v = V„v + V„v
(см. упражнение 10.1). Этот результат можно вывести и другим способом — из принципа эквивалентности: в локально инерциальной системе, как в специальной теории относительно-—с сти, так и в ньютоновской теории, изменение V
ВДОЛЬ U + П должно быть равно сумме изменений вдоль U и вдоль п.
3. Следствие: пусть п отличается от и лишь постоянным множителем;
тогда имеем
Ve«v = aV«v.
Е. Геодезические, определяемые с помощью параллельного переноса или ковариант-ного дифференцирования
Процедура построения «лестницы Шилда» для параллельного переноса (начало данного дополнения), примененная к касательному вектору геодезической (упражнение 10.6), приводит к выводу: касательный вектор геодезической переносится параллельно вдоль геодезической. В переводе на язык ковариантных производных это утверждение принимает вид
