Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
чисто дифференциальный оператор S соответствует этой системе координат.
Все рассматриваемые в [39] интересные случаи уравнения
(8.1) принадлежат классу II, но часто такие случаи возникают в результате
частичного разделения переменных из уравнений класса I. Например,
уравнение (8.1) получится из временцбго уравнения Шредингера (5.1), если
выделить переменную времени, предположив, что (х, у t) = е~шФ (х, у).
Принадлежащие классу I уравнения гармонического осциллятора,
репульсивного осциллятора и линейного потенциала, с которым мы
сталкивались, рассматривая временное уравнение Шредингера, переходят в
уравнения класса II, когда мы выделяем переменную t', см. [39]. Это
происходит потому, что выделение переменной t приводит к значительному
сокращению симметрии уравнения Шредингера.
Особый интерес представляет рассматриваемое в [39] уравнение класса II,
которое соответствует потенциалу V(x,y)*= = -а/х2 - Р/г/2, где а, р -
вещественные константы, такие, что а2+ Р2 > 0. Этот потенциал приводится
в работах [20] и [105], где авторы дают классификацию всех потенциалов
V(x, у)\ та-
2.8. Заключительные замечания 205
ких, что временное уравнение Шредингера допускает нетривиальные операторы
симметрии первого порядка. В работе [21] Бойер исследует уравнение
Шредингера
(idt + дхх + дуу - а/х2 - (1/у2) Ч = 0 (8.2)
с точки зрения методов, развиваемых в настоящей книге. Он показал, что
хотя это уравнение все еще принадлежит классу II, оно легко поддается
изучению, поскольку его можно получить из принадлежащего классу I
уравнения Шредингера для свободной частицы при помощи частичного
разделения переменных. Бойер показал, что уравнение (8.2) допускает ^-
разделение переменных в 25 системах координат при а = 0, р ф 0 и в 15
системах координат при а ф 0, р ф 0. Кроме того, он обнаружил, что каждая
система координат, допускающая разделение переменных, соответствует паре
коммутирующих операторов симметрии второго порядка уравнения (8.2).
Полученные им тождества для специальных функций подобны тождествам,
которые мы получили в разд. 2.5, но не совпадают с ними.
Армстронг [5, 6] применил методы, предложенные автором настоящей книги, и
теорему Вигнера - Экхарта для изучения квантовомеханических систем,
которые рассматривались нами в разд. 2.3 и которые допускают SL(2,R) как
динамическую группу симметрии. Он исследовал бесконечные семейства
самосопряженных операторов в Z.2(/?+), которые неприводимо преобразуются
под сопряженным действием группы SL(2,R), и, пользуясь теорией групп,
вычислил матричные элементы этих операторов по отношению к базису
собственных векторов оператора L3; см. также [100]. Дальнейшее развитие
этой теории, которая с точки зрения применяемых методов идентична теории,
излагаемой в настоящей книге, содержится в [87] и [88].
И наконец, в [26] при помощи теории групп и разделения переменных
определяются все возможные "повышающие"1) операторы первого и второго
порядка для гамильтонианов вида Н - -A2 - V(x,y). (Повышающий оператор R
для Н определяется соотношением коммутирования [Н, #] == р#, р > 0. Если
собственный вектор Ч* оператора Н удовлетворяет соотношению HW = АД1, то
формально H(RW) = (А + ц)ЯЧг, и, следовательно, R отображает собственный
вектор, соответствующий собственному значению А, в собственный вектор,
соответствующий собственному значению А+Ц-) В [26] показано, что для
того, чтобы Н допускал повышающий оператор второго порядка, необходимо,
чтобы уравнение (8.1) допускало разделение переменных в одной из четырех
систем координат, перечисленных в табл. 1, и дан полный список возможных
повышающих операторов.
*) Автор использует термин "raising operator". - Прим. перев.
206 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
Упражнения
1. Найти алгебру симметрии уравнения Шредингера (1.2) для свободной
частицы.
2. Описать разложение алгебры Шредингера %2 на орбиты в результате
сопряженного действия группы бг-
3. Показать, что в результате сопряженного действия группы SL(2, R)
алгебра Ли sl(2,R) распадается на три орбиты.
4. Формула (1.30) показывает в явном виде эквивалентность уравнений
Шредингера для свободной частицы и для гармонического осциллятора.
Вывести соответствующую формулу, показывающую эквивалентность уравнений
для свободной частицы и для линейного потенциала.
5. Получить билинейные разложения (1.55) для фундаментального решения
уравнения Шредингера
k(t, х - у) = (4mt)~l/2 ехр (- (* - y)2l(4it)]
при помощи базисов / = 2, 4. (Подробное обсуждение таких
непре-
рывных аналогов производящих функций см. в [124, 143].)
6. Используя методы, рассмотренные в разд. 2.2, решить задачу Коши для
уравнения
с^Ф = + *Ф,
т. е. найти при t > 0 ограниченное решение Ф (х, t) этого уравнения,
непрерывное при / >0 и такое, что Ф (0, дг) = f(x), где функция f(x)
ограничена н непрерывна на вещественной прямой.
7. Функции Эрмита Hn(z), определяемые соотношениями (2.26), при п= 0, 1,
