Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
Базис алгебры Ли матричной группы ?(3) дается матрицами
0 - 0 -
Я о 0 0
я= 0 , /==1, 2, 3; Я = 0
-0 0 0 0 - -1 0 0 0.
г 0 - о-.
0 0 0 0
&2 = 0 > д>ъ = 0
- 0 10 0. -0 0 1 0-
причем соотношения коммутирования идентичны соотношениям
(1.3). Отсюда видно, что алгебра Ли <§(3) с базисом (1.2) изоморфна
алгебре Ли группы ?(3). Явное соотношение между порождающими элементами
(1.10) алгебры Ли и элементами (1.7) группы ?(3) имеет вид
g(q>, 0, ф, а) = #(Л(ф, 0, ф), а) =
*= ехр (ф/3) ехр (0/i) ехр (ф/3) ехр (ax&i + а292 + аг9ъ). (1-11)
Используя стандартную теорию Ли, можно при помощи производных Ли (1.2)
расширить действие алгебры <о (3) на пространство ЗЕ функций,
аналитических на некотором открытом связном множестве Я) Е R3, до
локального представления Т группы ?(3) на SF. Мы имеем
Т (g) Ф (х) = {ехр (ф/3) ехр (0/,) ехр (ф/3) X
X ехр (ai'P'i + а2Р3 + а3Р3)} Ф (х) = Ф (xg), (1.12)
где xg дается соотношением (1.9). Таким образом, действие группы ?(3) как
группы преобразований, определяемое соотношением (1.9), в точности
совпадает с действием производных
(1.2) алгебры Ли. Как обычно, имеет место соотношение
т (gg') = т (g) Т (gO. g, /е?(3), (1.13)
и операторы T(g) отображают решения уравнения Гельмгольца в решения же.
Определяя пространство 9 симметрий второго порядка уравнения (1.1), мы
видим, что это уравнение является уравнением класса I. В самом деле,
факторизуя пространство q тривиальных
210 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
симметрий RQ, /? s fF, Q = Р\ + Р\ + Р\ + ю2 (напомним, чго RQ - нулевой
оператор на пространстве решений уравнения
(1.1)), находим, что факторпространство Э'/ц 41-мерно и имеет базис,
состоящий из единичного оператора Е, 6 операторов первого порядка Pi и 34
симметризованных операторов чисто второго порядка. Пространство <В (З)2
симметризованных операторов второго порядка натянуто на элементы {Ji,
Pm},
{Pi, Pm} = 2PtPm, которые подчинены двум соотношениям J-P = /bPl +
/2P2+/3/>3 S0 И Р-Р=Р2+Р2+Р2==_(Й21 причем последнее соотношение
выполняется на пространстве решений уравнения (1.1) (см. [76]).
Группа Е (3) действует на & (3) посредством сопряженного представления и
разбивает <§ (3) на три типа орбит с представителями
Рз, /а. Рл~\-а.Рз, а Ф 0. (1.14)
Заметим, что ехр(аР3)-перенос вдоль оси х3, ехр(ср/3) - поворот
относительно этой оси, а ехр (ф/3 + фаР3) = = ехр (ф/3)ехр (фаР3)-поворот
относительно оси х3 с последующим переносом вдоль этой оси {винтовое
смещение). Таким образом, мы получили на языке алгебры Ли формулировку
теоремы о том, что любое евклидово преобразование является переносом,
поворотом или винтовым смещением (см. [86]).
Поскольку (1.1) -уравнение с тремя переменными, с каждой системой
координат, допускающей разделение переменных, связаны две константы
разделения. Таким образом, можно предположить, что решения с разделенными
переменными являются общими собственными функциями пары коммутирующих
операторов симметрии в обвертывающей алгебре алгебры с?(3). Именно так и
обстоит дело. Так же как и для уравнения Гельмгольца с двумя переменными,
рассматриваемого в разд. 1.2, мы находим ряд довольно тривиальных систем
координат, которые соответствуют диагонализации операторов первого
порядка. Кроме того, имеется одиннадцать типов ортогональных систем
координат, допускающих разделение переменных, каждая из которых
соответствует паре независимых коммутирующих операторов Si, S2 в с?(3)2.
Соответствующие решения с разделенными переменными ^ = U{u) V{v)W{w)
характеризуются уравнениями на собственные значения
(Л3 + (о2)^ = 0, S1? = cd2'F, S2^ = to2^, (1.15)
где со2, со2 - константы разделения [76, 118]. (Можно показать, что
нетривиальных решений с /?-разделенными переменными не существует.)
С другой стороны, некоторая система координат, допускающая разделение
переменных, связана с двумерным подпростран-
3.1. Уравнение Гельмгольца (Лз-Гш^'Г = 0 211
ством коммутирующих операторов в пространстве (?(3)2, а операторы Si, S2
являются базисом (не единственным) для этого подпространства. Группа Е(3)
действует на множество всех двумерных подпространств коммутирующих
операторов в (§?(3)2 посредством сопряженного представления и разбивает
это множество на орбиты эквивалентных подпространств. Как обычно,
допускающие разделение переменных координаты, связанные с эквивалентными
подпространствами, считаются эквивалентными, так как любую такую систему
можно получить из любой другой при помощи евклидова преобразования. Как
показано в [76], существует одиннадцать типов различных (нетривиальных)
орбит, которые соответствуют в точности одиннадцати типам ортогональных
разделяющих координат. Операторы, являющиеся представителями каждой
орбиты, и соответствующие им системы координат перечислены в табл. 14.
Проведем краткий анализ каждой системы, представленной в табл. 14, с тем
чтобы определить вид решения с разделенными переменными и смысл
