Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
собственных значений коммутирующих операторов симметрии. Начнем с
рассмотрения решений 'К уравнения Гельмгольца, которые являются
собственными функциями оператора Р3:
Р3тр = И№, W(x, у, 2) = еагФ(х, у).
В этом случае можно отделить переменную г, после чего уравнение (1.1)
примет вид
(Дг + [°>2 - Я2]) Ф (х, у) = 0, (1.16)
т. е. станет уравнением Гельмгольца в двух переменных. Из результатов,
полученных в разд. 1.2 (см. табл. 1), вытекает, что это приведенное
уравнение допускает разделение переменных точно в четырех ортогональных
системах координат. Соответствующими системами для неприведенного
уравнения (1.1) являются системы 1-4 в табл. 14.
Теперь рассмотрим решения Ч' уравнения (1.1), которые являются
собственными функциями оператора /3:
iJ3W = mW, Ч' (х, у, z) = е'т(рф (г, z).
Здесь г, ф, г - цилиндрические координаты 2 и /3 = - <?ф. Отделяем
переменную q>, и уравнение (1.1) сводится к уравнению
(дгг + г~'дг - т2/г2 + дгг + со2) Ф = 0. (1.17)
Несмотря на то что это уравнение получается в результате разделения
переменных из уравнения, принадлежащего классу I, само оно принадлежит
классу II. Приведенное уравнение (1.17) имеет решения с разделенными
переменными в пяти системах координат, соответствующих системам 2, 5-8.
212 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
Таблица 14
ОПЕРАТОРЫ И КООРДИНАТЫ, ДОПУСКАЮЩИЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
(Дз + со2) W = 0 ((*i, хъ Хз) = (*, у, г))
Коммутирующие операторы Sj, S2
Координаты, допускающие разделение переменных
1 Р2 Р2
2 4 Р\
3 {'з- Р2}, Р\
4 ]\ + d2P\, Р\,
d> О
5 J • J, ]\
6 J-J - а2 (Р2 + Pf), J%
а > О
7 S-S + a2(P\ + Pf), 4
а > О
8 {JltP2} - {h> Pl}> Jl
9 /1-с2Р§ + с({/2,Р1} + {Л.Р2}).
c (p2_p2) + {/2j pi}_{/l, p2}
10 P2i + aP2 + (a + l)P2 + J-J,
/1 + а(/? + Р§),
а > 1
Декартовы У, z
Цилиндрические д; = г cos ф, у = г sin ф, г = z Параболического цилиндра
* = (ь2 - "П2)/2,
У = |т), z = z Эллиптического цилиндра я = d ch a cos р, у = d sh а sin
р, г = г Сферические х = р sin 0 cos ф, у - р sin 0 sin ф, z = р cos 0
Вытянутого сфероида х - a sh Ti sin a cos ф, у = а sh г] sin а sin ф, г =
a ch т] cos а Сплющенного сфероида д: = л ch г) sin a cos ф, г/ = л ch г)
sin а sin ф, г - a sh Ti cos а Параболические х = ?т1 cos ф, y = lTl Sin
ф, z = a2-ri2)/2 Параболоидальные х = 2с ch a cos р sh у, у = 2с sh а sin
р ch у, г=с (ch 2а + cos 2р - ch 2у)/2 Эллипсоидальные
_ Г (ц - а) (у - а) (р - а) ~|"2
Х L а (а- 1) J '
г (м. - 1) (у,- 1) (р - 1) Ц/2
L J *
j"j?Vp_jV2
у--
3.1. Уравнение Гельмгольца (Дз + ш2)1? = 0 213
Продолжение табл. 14
Коммутирующие операторы $ь Координаты, допускающие разделение переменных
11 S-S,]\+bll, 1 > Ь > 0 Конические j. rJ(6H- 1) (*V - 1) jV2 _Гй(ц_
1) (V - 1) 11/2 L 6-1 J ' г = г [йцм]1/2
Для сферических координат 5 уравнения с разделенными переменными р и 0
имеют вид
Р" + | Р' + ("2 ~- (у---) Р = 0, (1.18а)
0" + ctg 00' +(/(/+ 1) - 0 = 0, (1.186)
J . JW = - /(/+ 1)?.
Решения с разделенными переменными принимают вид
Я (р) = р_ 1/2/± (Л-1/2) (сор), 0 (0) = Pf m (cos 0), (1.19)
где Jv{z)-функция Бесселя, a Pf (cos 0) функция Лежандра (см. (5.6iv)).
Чтобы полностью покрыть пространство Р3, координаты р, 0, ф должны
меняться в следующих интервалах:
О^р, 0^0^ л, 0^ф<2л.
Для координат вытянутого сфероида (или эллипсоида) 6 (см. табл. 14)
уравнения с разделенными переменными ц, а записываются так:
Н" + cth (ц) Н' + (- X + а2со2 sh2 ц - m2/sh2 ц) Н = 0,
А" + ctg (а) А' + (X + а2со2 sin2 а - m2/sin2ct) А = 0, (1.20)
(J J - аР\ - aPf) W=-XW.
Уравнения (1.20)-две формы уравнения сфероидальной волны [7, 80].
Соответствующие решения Ч*- уравнения (1.1), ограниченные и однозначные в
Р3, имеют вид
Н (ц) A (a) elm<P = Ps1 т 1 (ch ц, а2со2) Ps1 т 1 (cos а, а2со2) elm<t,
п , " (1-21) т - целое число, я = 0, 1, ..., - я^т^я,
где Ps(tm)(z, у) - функция сфероидальной волны. Дискретные собственные
значения Х^т 1 (а2со2) являются аналитическими функ-
214 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с Гремя переменными
днями от а2о>2. Яри а = 0 уравнение сфероидальной волны сводится к
уравнению (1.186) для функций Лежандра, причем р3Ы I (cos а, 0) = Р\пт 1
(cos а). Кроме того, Х^пт I (0) = п (ti + 1). Переменные меняются в
интервалах 0 ^ а < 2л, ti ^ 0, 0 ^ ^ Ф < 2л.
Для координат сплющенного сфероида (или эллипсоида) 7 получаются
следующие уравнения с разделенными переменными Л, а:
Н" + th (ti) Я' + (- X + а2а>2 ch2 ц + m2/ch2 л) Я = 0,
А" + ctg (а) А' + (Я - а2со2 sin2 а - m2/sin2a) А = 0, (1.22)
(J • J + а2Р\ + a2Pf) Ч = - №.
Следует заметить, что эти уравнения также являются вариантами уравнения
сфероидальной волны. Соответствующие решения Ч* уравнения (1.1),
ограниченные и однозначные в R3, имеют вид
р3\т | (_ l sh ^ psl m | (cos a _ а2и2) etm<f>
п ' <> > п ' ' ' ' (1 п3)
т - целое число, /г = 0, 1,2........... - тг^т^тг,
с собственными значениями ' (-a2a>2).
Для параболических координат 8 уравнения с разделенными переменными ?, т]
