Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
где F - любое решение уравнения Гельмгольца
A2F + k2F = 0. (7.19)
Это довольно очевидное утверждение оказывается менее тривиальным, если
учесть тот факт, что каждый оператор симметрии T(g), определяемый
формулами (7.4) - (7.6), отображает Ф в другое решение Т(я)Ф. Например,
если g = Ло, где Ло определено в (7.7), то
Т (Л0) Ф (/, х) - ехр [(- Л* (f - 1) - 7ах • х)/(/ + 1)] X
X 21/2 (/ + I)-1 F (2ll2x/(t + 1)), (7.20)
где F - произвольное решение уравнения Гельмгольца (7.19), является
решением уравнения теплопроводности. Выбирая соответствующие групповые
элементы g и решения F, можно построить такие решения уравнения
теплопроводности, которые удовлетворяли бы целому ряду начальных и
граничных условий. Примеры таких решений можно найти в работе Бейтмена [
14][.
Теперь рассмотрим комплексное уравнение теплопроводно--сти, т. е.
уравнение (7.1), где t, xi, х%- комплексные переменные. Очевидно, что
алгебра симметрии $1 этого уравнения девятимерна (и комплексна) и имеет
базис (7.2). Вычисляя экспоненты операторов базиса, можно получить
локальную группу Ли Gjj операторов симметрии, действующую на пространстве
функций Чг(^, х), аналитических в некоторой области FE) комплексного
пространства (t,xuXz), Действие этой группы определяется соотношениями
(7.4) - (7.6), где теперь параметры w, z и р принимают произвольные
комплексные значения, а матри-/а р\
цы А - ^ ^ J принадлежат группе 5L(2(iQi). Само собой разу-
198 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
меется, эти операторы отображают решения комплексного уравнения
теплопроводности в решения же.
Задача ^-разделения переменных для этого уравнения формулируется точно
так же, как для комплексного уравнения теплопроводности (dt - дхх) Ф = 0
в разд. 2.2. Предполагается, что все системы, допускающие ^-разделение
переменных для нашего уравнения, соответствуют паре коммутирующих
операторов симметрии в обвертывающей алгебре алгебры <&ъ. Ясно, что все
перечисленные в табл. 12 и 13 вещественные системы, допускающие •^-
разделение переменных, можно аналитически продолжить, с тем чтобы
получить системы, допускающие ^-разделение переменных для комплексного
уравнения теплопроводности. Следует заметить, что каждая система Аа табл.
12 комплексно эквивалентна системе Аа табл. 13, а системы Ос, Or, Ое
комплексно эквивалентны системам Rc, Rr, Re соответственно.
Существуют и такие допускающие ^-разделение переменных системы, которые
не являются комплексными эквивалентами систем, представленных в табл. 12
и 13. Например, если диаго-нализировать оператор dt, то уравнение (7.1)
сведется к комплексному уравнению Гельмгольца; из табл. 3 находим решения
с разделенными переменными для этого уравнения, которые являются
произведениями функций Бесселя и, очевидно, не являются эквивалентами
какого бы то ни было решения из табл. 12 и 13.
Задача разделения переменных для уравнения (7.1) полностью решена Э. Г.
Калнинсом (информация получена неофициально), который нашел 38
нетривиальных систем, допускающих разделение переменных для этого
уравнения, причем каждая система характеризуется парой коммутирующих
операторов симметрии. Мы не будем заниматься анализом результатов,
полученных Калнинсом, а просто воспользуемся готовыми системами,
допускающими разделение переменных для уравнения
(7.1), с тем чтобы применить метод Вейснера.
Выражения (7.12) наводят на мысль, что для решений уравнения (7.1) в виде
многочленов Лагерра целесообразно ввести новые координаты
2 = - (х\ + *|)/(40> s = i(xl + ix2)/2, т = /. (7.21)
Тогда базисные функции (7.12) (соответствующим образом нормированные)
примут вид
Фт " (t, s, z) = TrtsmL(m) (z), Н°Фт = (rn + 2n 4- 1)ф
т. д ' ' ' ' n ' m, n ' 1 ' m, ti'
МФт,п = тФт,п, n=0, 1,2,....
Эти выражения имеют смысл для любого т е С;, такого, что т не является
отрицательным целым числом. Поскольку много-
2.7. Уравнение теплопроводности (dt - дхх - дуу)Ф = 0 199
член Лагерра Zj,ml (z) можно представить в виде конфлюентной
гипергеометрической функции (см. (B.9i)), мы можем взять но-вое семейство
собственных функций
/ п I \ f
= Ф,," = ( п J'Vm.nV-23)
и линейно независимое семейство собственных функций
f - п - т, \ \
" (т- s- z) = 4nsmz~m А _ т + j j г). (7.24)
Иначе говоря, Y и ^'т1П образуют базис пространства ре-
шений уравнений на собственные значения (7.22) при фиксированных пат.
В координатах т, s, г операторы (7.2) принимают вид
//2 = х2дх + ts<3s -{- ггдг + т (1 - г), Н_2 = т-1 (хдх - гдг),
HZ\ =ds + zs~'dz, Hti - sr~ldz, НГ = rds + xzs~1dz-xzs~1, (7.25) Hi=sdz -
s, H° = sds, H° = sds + 2т<Зт -j- 1, Яо=1,
где
H-1 = - iP\ - Р2, H-\ - - iP\ + Рг, H\ = - iB\ - B2,
Ht = -lBi + B2, H=iM.
Заметим, что
[Я0, Я?] = /Я?, ['Я/, Я?]="Я?. (7.27)
Из явных выражений (7.25) видно, что каждый из операторов алгебры Ли
отображает многочлен по г в другой такой многочлен. Отсюда и из
соотношений коммутирования (7.27) следует, что Я/^ш. " равно произведению
?га+(а) 1, п+ц-т 11/2 на некоторую константу. Почленно дифференцируя
