Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
4а Fel x = w ch и cos о - (sh2 и + cos2 v) wj4 Модифицированная
н2, М2 - в\ у = w sh и sin о функция Матье Функция Матье
46 Fe1
H_ j, M2-P|
6a Lcl
- 2 aPi - 2b P% B\ - 2bP2HQ
66 Lc2
H_2 + 2aBl + 2bBT
p2 2o.B^Hq
6a Bp1
Нг - aPu {B^ M) - aP\
66 Bp1
H_2 - 2aBv
{P2, M} + 2aB\
^ Oc
H_ + ff
P\-tB\
8 Or
H^ + HpM*
x = ch a cos о у = sh и sin v
x = uw + а/да у = vw + b/w
x = u + aw2 I/ = t' + бда2
x = (u2 - os) да/2 + а/да у = иода
х = (а2 - о2)/2 + ада2 у = uv
х = и (1 + да2)1^2 у = о (1 + да2)1^2
х = (1 + да2)1^2 и cos о = (1 + да2)1/2 я sin о
о
- (и2 + о2) (r)/4 +
+ (аа + 6о)/2(r)
- (ал + bv) w
- (и(r) + о2)2 (r)/16 +
+ а (а2 - о*)/4(r)
- а (и2 - о2) ш/2
- (я2 + о2) г"/4
- iPwjA
Модифнцир ов анн а я функция Матье Функция Матье
Функция Эйри Функция Эйри
Функция Эйри Функция Эйри
Функция ангармонического осциллятора Функция ангармонического осциллятора
Функция ангармонического осциллятора Функция ангармонического осциллятора
Функция параболического цилиндра Функция параболического цилиндра
Функция Уиттекера Экспоненциальная функция
§
Продолжение табл. /3
Операторы Я, S Координаты [и, о, ш}
9 Ое х - (1 + а)2)1'12 ch и cos v
Н_2 + /У2, у = (1 + да2)1''2 sh и sin v
М2-Р\- В%
Юа Rcl х=|да|1/2 и
Н°, {ВиР,} y = \w\ll2v
Юб RC2 х = и|1-да2|1/2
Н_2 - Н2, y = v\ 1 - да2 |1/2
Р\-В\
lla Rr' х = | да l1^2 и cos о
Л12 у = | а) I1/2 и sin о
116 Рг2 j;_|j - щ,2 |i/2 и cos р
Н _ 2 -¦ И2' ^ У = I 1 - да2 | О2 и sin о
12а Re1 x=|tt)|1/2ch и cos V
Н0, у = | да |1/2 sh и sin v
М2 - >/2 {В*, Я2)
Множитель е^
Решения с разделенными
переменными
- (sh2 и + cos2 v) го/4 функция Айнса
Функция Айнса
О Функция Эрмита
Функция Эрмита
- е (и2 + v2) го/4 Функция Эрмита
8 = sign (1 - w2) Функция Эрмита
Функция Лагерра Экспоненциальная функция
еп2го/4 Функция Лагерра
Экспоненциальная функция
О Многочлен Айнса
Многочлен Айнса
Кб Re2 * = |1- го2 |1/2 ch и cos v
Н_2 - #2, у = 11 - w211/2 sh и sin v
М2 - Р\ + В\
13 L\ х = а
Рх, В\ + 2ЬР2Н0 i/ = vw + b$w
Ы L2 х = и
Рх, Р\ + 2aB2HQ y = v + aw2
15 01 х = и
РиР2 + В2 у = о(1 + го2)1/2
16
R1
Ри {В2, Рг}
х = и
у = V I W
,1/2
17 R2
Р1г Р\-В\
X == и
у = О I 1 - ГО2 |^2
- e (sh2 и + cos2 v) да/4
-- v2w/4 + bv/2w
- aow
0
- ео2да/4
Многочлен Айнса Многочлен Айнса
Экспоненциальная функция
Функция Эйри
Экспоненциальная функция
Функция Эйри
Экспоненциальная функция
Функция параболического цилиндра
Экспоненциальная функция
Функция Эрмита
Экспоненциальная функция
Функция Эрмита
196 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
хи х2 для всех xeJ?2, />0 и такое, что Ф(0,х) = /(х) [109]', а именно
решение
оо
Ф (/, х) = (4л/)-1 jj jj ехр [- (х - у) • (х - у)/(4/)] f (у) dyx dy2 =
~°° (7.13)
-/'(/), *>о.
Построим иную модель алгебры симметрии (7.2) (аналогичную работу мы уже
выполняли в разд. 2.2). Прежде всего ограничим операторы (7.2) на
пространство решений уравнения теплопро-водности, что даст нам
возможность заменить в формулах для этих операторов на Д2 и рассматривать
/ ^ 0 как фиксиро-ванный параметр. Теперь операторы (7.2) являются
операторами симметрии в фиксированный момент времени /. При / = 0 one-
раторы (7.2) принимают вид
Ж2 = (*1 + х|)/4, Ж_2 = А2, &t = dXj, #, = *,/2, *-*К-хК' = +
1. (7-14)
#о-1, /-1,2,
и, когда эти операторы действуют на пространство, скажем, /Г0 бесконечно
дифференцируемых функций f(x) в^с компактным носителем, они удовлетворяют
обычным соотношениям коммути-рования (7.3).
Так же как в разд. 2.2, выражение (7.13) можно представить в виде
Ф (/, х) = 1* (/) = ехр (/Да) f (х) = ехр (/<Ж_2) f (х), 0, / >
0,
(7.15)
и показать, что операторы Я (7.2) и (7.14) связаны соотношением
Я ехр = ехр (/<Ж_2) <Ж, (7.16)
где Яе?з и оператор получается из Я, если положить / => 0, Кроме того,
имеет место соотношение
ехр (аН) ехр (/<Ж_2) = ехр (/<Ж_2) ехр (а<Ж), (7.17)
и можно показать, что уравнения
<Э,Ф - (Д2 + CjX • х + а2дм + а3дХ2 + а4 (х^ - x2dj +
+ аьхх + авх2 + а7 (XldXi + x2dj + а8) Ф, а, е= R, (7.18)
имеют изоморфные алгебры симметрии и эквивалентны уравнению (7.1).
Рассмотренные нами в разд. 2.2 способы решения вадачи Коши применимы и
для уравнений вида (7,18),
2.7. Уравнение теплопроводности (dt - дхх- d,,,,) (I) = 0 197
Здесь полезно рассмотреть метод построения в явном виде решений уравнения
теплопроводности, который с равным успехом применяется и при решении
многих других уравнений, исследуемых в настоящей книге. Каждая система
координат, допускающая ^-разделение переменных для уравнения (7.1),
связана с парой коммутирующих операторов, один из которых является
оператором первого порядка. Диагонализируя этот оператор первого порядка,
можно выделить соответствующую координату и тем самым свести уравнение
теплопроводности к некоторому уравнению, в котором число переменных на
единицу меньше, чем в исходном. Например, диагонализируя оператор
симметрии dt, мы выделяем переменную t и получаем решения
Ф (t, х) = ехр (- k2t) F (х),
